Затухающие колебания

Затухающие колебания — колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. Бесконечно длящийся процесс вида $\scriptstyle u(t) = A \cos(\omega t+q)$ в природе невозможен. Свободные колебания любого осциллятора рано или поздно затухают и прекращаются. Они характеризуются тем, что амплитуда колебаний A является убывающей функцией. Обычно затухание происходит под действием сил сопротивления среды, наиболее часто выражаемых линейной зависимостью от скорости колебаний $\scriptstyle u'_t$ или её квадрата.

Пусть имеется система, состоящая из пружины (подчиняющейся закону Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на другом находится тело массой m. Колебания совершаются в среде, где сила сопротивления пропорциональна скорости с коэффициентом c.

Тогда второй закон Ньютона для рассматриваемой системы запишется так:

$m \vec{a} = \vec{F_c} + \vec{F_y}$

где $F_c$ — сила сопротивления, $F_y$ — сила упругости

$F_c = -cv$ , $F_y = -kx$ , то есть

$m a + c v + k x = 0$

или в дифференциальной форме

$\ddot{x} + { c \over m} \dot{x} + {k \over m} x = 0$

где k — коэффициент упругости в законе Гука, c — коэффициент сопротивления, устанавливающий соотношение между скоростью движения грузика и возникающей при этом силой сопротивления.

Для упрощения вводятся следующие обозначения: $\omega_0 = \sqrt{ k \over m },\qquad \zeta = { c \over 2 \sqrt{k m} }.$

Величину $\omega_0$ называют собственной частотой системы, $\zeta$ — коэффициентом затухания.

Тогда дифференциальное уравнение принимает вид

$\ddot{x} + 2 \zeta \omega_0 \dot{x} + \omega_0^2 x = 0$

Сделав замену $x = e^{\lambda t}$ , получают характеристическое уравнение

$\lambda^2 + 2 \zeta \omega_0 \lambda + \omega_0^2 = 0$

Корни которого вычисляются по следующей формуле

$\lambda_\pm = \omega_0( - \zeta \pm \sqrt{\zeta^2 - 1})$

Зависимость графиков колебаний от значения

\zeta

В зависимости от величины коэффициента затухания решение разделяется на три возможных варианта.

Апериодичность

Если $\scriptstyle \zeta>1$ , то имеется два действительных корня, и решение дифференциального уравнения принимает вид:

$x(t)=c_1 e^{\lambda_- \,t}+c_2 e^{\lambda_+ \,t}$

В этом случае колебания с самого начала экспоненциально затухают.

Граница апериодичности

Если $\scriptstyle \zeta=1$ , два действительных корня совпадают $\scriptstyle \lambda = -\omega_0$ , и решением уравнения является:

$x(t)=(c_1t+c_2) e^{-\omega_o t}$

В данном случае может иметь место вре́менный рост, но потом — экспоненциальное затухание.

Слабое затухание

Если $\scriptstyle \zeta<1$ , то решением характеристического уравнения являются два комплексно сопряжённых корня

$\lambda_\pm = -\omega_0\zeta \pm i \omega_0 \sqrt{1- \zeta^2 })$

Тогда решением исходного дифференциального уравнения является

$x (t) = e^{- \zeta \omega_0 t} (c_1 \cos( \omega_\mathrm{d} t) + c_2 \sin( \omega_\mathrm{d} t ))\,$

Где $\scriptstyle \omega_\mathrm{d}=\omega_0 \sqrt{1- \zeta^2 }$ — собственная частота затухающих колебаний.

Константы $c_1$ и $c_2$ в каждом из случаев определяются из начальных условий: $\left\{\begin{array}{ccc}x(0) &=& a \\ \dot{x}(0) &=& b \end{array}\right.$