Под числом степеней свободы кинематической цепи в данном случае подразумевается число степеней свободы подвижных звеньев относительно стойки (звена, принятого за неподвижное). Однако сама стойка в реальном пространстве может перемещаться.
Введем следующие обозначения:
k – число звеньев кинематической цепи
p1 – число кинематических пар первого класса в данной цепи
p2 – число пар второго класса
p3 – число пар третьего класса
p4 – число пар четвертого класса
p5 – число пар пятого класса.
Общее число степеней свободы k свободных звеньев, размещенных в пространстве, равно 6k. В кинематической цепи они соединяются в кинематические пары (т.е. на их относительное движение накладываются связи).
Кроме того, в качестве механизма используется кинематическая цепь, имеющая стойку (звено, принятое за неподвижное). Поэтому число степеней свободы кинематической цепи будет равно общему числу степеней свободы всех звеньев за вычетом связей, накладываемых на их относительное движение:
W=6k– ∑Si
Число связей, накладываемых всеми парами I класса, равно их числу, т.к. каждая пара первого класса накладывает одну связь на относительное движение звеньев, соединенных в такую пару; число связей, накладываемых всеми парами II класса, равно их удвоенному количеству (каждая пара второго класса накладывает две связи) и т.д.
У звена, принятого за неподвижное, отнимаются все шесть степеней свободы (на стойку накладывается шесть связей). Таким образом:
S1=p1, S2=2p2, S3=3p3, S4=4p4, S5=5p5, Sстойки=6,
а сумма всех связей
∑Si=p1+2p2+3p3+4p4+5p5+6.
В результате получается следующая формула для определения числа степеней свободы пространственной кинематической цепи:
W=6k–p1–2p2–3p3–4p4–5p5–6.
Сгруппировав первый и последний члены уравнения, получаем:
W=6(k–1)–p1–2p2–3p3–4p4–5p5,
или окончательно:
W=6n–p1–2p2–3p3–4p4–5p5,
где n – число подвижных звеньев кинематической цепи.
Данное уравнение носит название структурной формулы кинематической цепи общего вида.
На плоскости существуют только пары четвертого и пятого классов. На кинематическую пару четвертого класса приходится одна связь (в дополнение к трем общим связям, приходящимся на плоскость); на пару пятого класса приходится две связи; у стойки отнимаются все три степени свободы. Таким образом:
∑Si=p4+2p5+3,
W=3k–p4–2p5–3,
или
W=3(k–1)–p4–2p5,
окончательно
W=3n–2p5–p4.
Это есть структурная формула для плоской кинематической цепи.
Если кинематическая цепь, имеющая в соответствии с формулой Чебышева нулевую степень свободы, оказывается подвижной, это означает, что в данной цепи имеются пассивные (избыточные) связи. При исследовании механизма в этом случае звенья, создающие пассивные связи, просто удаляются из рассмотрения.
Лишние степени свободы – если в механизме имеется движение какого-либо звена, не влияющее на движение остальных звеньев этого механизма, то оно дает лишнюю степень свободы.
