ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
43.1. Основные понятия
Пусть задано множество D упорядоченных пар чисел (х;у). Соответствие ƒ, которое каждой паре чисел (х; у) є D сопоставляет одно и только одно число z є R, называется функцией двух переменных, определенной на множестве D со значениями в Е, и записывается в виде z = ƒ(х;у) или ƒ : D → R При этом х и у называются независимыми переменными (аргументами), а z — зависимой переменной (функцией).
Если каждой паре (x,y) значений двух независимых друг от друга, переменных величин x и y, из некоторой области их изменения D, соответствует определенное значение величины z, то говорят, что z функция двух независимых переменных x и y, определенная в области D.
Функция двух переменных, как и функция одной переменной, может быть задана разными способами: таблицей, аналитически, графиком.
Предел функции.
Введем понятие окрестности точки. Множество всех точек М(х;у) плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенствуназывается d-окрестностью точки М0(х0;у0). Другими словами, d-окрестность точки Мо — это все внутренние точки круга с центром Мо и радиусом 8 (см. рис. 206).
Пусть функция z = ƒ(х; у) определена в некоторой окрестности точки М0(х0;у0), кроме, быть может, самой этой точки. Число А называется пределом функции z = ƒ (х; у) при х → х0 и у → у0 (или, что то же самое, при М(х; у) → М0(х0; у0)), если для любого є > 0 существует d > 0 такое, что для всех х ≠ х0 и у ≠ у0 и удовлетворяющих неравенству
выполняется неравенство | ƒ (х; у) — А| < є. Записывают: