Предмет прикладной математики В процессе применения математики для решения некоторой практической задачи можно выделить 3 этапа:
- Построение математической модели рассматриваемого объекта.
- Выбор метода (алгоритма) решения соответствующей математической задачи.
- Численная реализация выбранного алгоритма (обычно – на ЭВМ).
Три соответствующих элемента:
- математические модели,
- вычислительные алгоритмы ,
- вопросы, связанные с применением вычислительной техники – и составляют содержание современной прикладной математики.
Точность и погрешность
На практике далеко не всегда используются точные значения интересующих нас величин. Этому есть две причины: мы или не можем найти точное значение, или не видим необходимости это делать (бывает, и то и другое вместе).
Рассмотрим вначале основные определения:
Определение 1. Приближённым значением некоторой величины называется число, используемое вместо точного значения этой величины. При этом, обозначив через A – точное значение данной величины, а через a – её приближённое значение, обычно пишут: А » а. примеры: число пи е.
Определение 2. Погрешностью приближённого значения некоторой величины называется разность между этим приближённым значением и точным значением данной величины. Таким образом, обозначив через A – точное значение данной величины, через a – её приближённое значение, а через Da – погрешность этого приближённого значения, можно записать: Da = а – А .
Определение 3. Абсолютной погрешностью приближённого значения некоторой величины называется абсолютная величина разности между этим приближенным значением и точным значением данной величины. Таким образом, используя те же обозначения, что и выше, можно сказать, что абсолютная погрешность приближённого значения a равна |Da| = |а – А| .
Определение 4. Предельной абсолютной погрешностью приближённого значения некоторой величины называется любое число, не меньшее абсолютной погрешности этого приближённого значения. Итак, обозначив через Da предельную абсолютную погрешность приближённого значения a , имеем: |Da| £ Da , D-ДЕЛЬТА. ЗНАЧЕК МЕНЬШЕ ИЛИ РАВНО или |а – А| £ Da , что равносильно: а - Da £ А £ а + Da .
Определение 5. Относительной погрешностью приближённого значения некоторой величины называется частное от деления его абсолютной погрешности на абсолютное значение данной величины. Обозначив относительную погрешность приближённого значения a через da, и используя старые обозначения, данное определение запишем в виде: (конечно, предполагается, что A ¹ 0). Формула лекции.
