пользователей: 30398
предметов: 12406
вопросов: 234839
Конспект-online
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

Основные элементарные функции

 

График линейной функции

Линейная функция задается уравнением grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image017. График линейной функций представляет собой прямую. Для того, чтобы построить прямую достаточно знать две точки.

Пример 1

Построить график функции grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image019. Найдем две точки. В качестве одной из точек выгодно выбрать ноль.

Если grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image021, то grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image023

Берем еще какую-нибудь точку, например, 1.

Если grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image025, то grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image027

При оформлении заданий координаты точек обычно сводятся в таблицу:

grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image029 
А сами значения рассчитываются устно или на черновике, калькуляторе.

Две точки найдены, выполним чертеж:

График линейной функции
При оформлении чертежа всегда подписываем графики.

Не лишним будет вспомнить частные случаи линейной функции:

Частные случаи линейной функции 
Обратите внимание, как я расположил подписи, подписи не должны допускать разночтений при изучении чертежа. В данном случае крайне нежелательно было поставить подпись рядом с точкой пересечения прямых  grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image035grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image025 или справа внизу между графиками.

1) Линейная функция вида grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image038 (grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image040) называется прямой пропорциональностью. Например, grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image042. График прямой пропорциональности всегда проходит через начало координат. Таким образом, построение прямой упрощается – достаточно найти всего одну точку.

2) Уравнение вида grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image044 задает прямую, параллельную оси grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image015, в частности, сама ось grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image015 задается уравнением grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image048. График функции строится сразу, без нахождения всяких точек. То есть, запись grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image035 следует понимать так: «игрек всегда равен –4, при любом значении икс».

3) Уравнение вида grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image050 задает прямую, параллельную оси grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image013, в частности, сама ось grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image013 задается уравнением grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image021. График функции также строится сразу. Запись grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image025 следует понимать так: «икс всегда, при любом значении игрек, равен 1».

Некоторые спросят, ну зачем вспоминать 6 класс?! Так-то оно, может и так, только за годы практики я встретил добрый десяток студентов, которых ставила в тупик задача построения графика вроде grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image035 или grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image025.

Построение прямой – самое распространенное действие при выполнении чертежей.

Прямая линия детально рассматривается в курсе аналитической геометрии, и желающие могут обратиться к статье Уравнение прямой на плоскости.

График квадратичной, кубической функции, график многочлена

Парабола. График квадратичной функции grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image055 (grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image040) представляет собой параболу. Рассмотрим знаменитый случай: grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image057

График квадратичной функции (парабола)

Вспоминаем некоторые свойства функции grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image057.

Область определения – любое действительное число (любое значение «икс»). Что это значит? Какую бы точку на оси grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image015 мы не выбрали – для каждого «икс» существует точка параболы. Математически это записывается так: grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image062. Область определения любой функции стандартно обозначается через grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image064 или grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image066. Буква grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image068 обозначает множество действительных чисел или, проще говоря, «любое икс»  (когда работа оформляется в тетради, пишут не фигурную букву grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image068, а жирную букву R).    

Область значений – это множество всех значений, которые может принимать переменная «игрек». В данном случае: grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image070 – множество всех положительных значений, включая ноль. Область значений стандартно обозначается через grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image072 или grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image074.

Функция grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image057 является чётной. Если функция является чётной, то ее график симметричен относительно оси grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image013. Это очень полезное свойство, которое заметно упрощает построение графика, в чём мы скоро убедимся. Аналитически чётность функции выражается условием grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image077. Как проверить любую функцию на чётность? Нужно  вместо grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image079 подставить в уравнение grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image081. В случае с параболой проверка выглядит так: grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image083, значит, функция grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image057 является четной.

Функция grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image057 не ограничена сверху. Аналитически свойство записывается так: grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image085. Вот вам, кстати, и пример геометрического смысла предела функции: если мы будем уходить по оси grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image015 (влево или вправо) на бесконечность, то ветки параболы (значения «игрек») будут неограниченно уходить вверх  на «плюс бесконечность».

При изучении пределов функций желательно понимать геометрический смысл предела.

Я не случайно так подробно расписал свойства функции, все вышеперечисленные вещи полезно знать и помнить при построении графиков функций, а также при исследовании графиков функций.

Пример 2

Построить график функции grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image087.

В этом примере мы рассмотрим важный технический вопрос: Как быстро построить параболу? В практических заданиях необходимость начертить параболу возникает очень часто, в частности, при вычислении площади фигуры с помощью определенного интеграла. Поэтому чертеж желательно научиться выполнять быстро, с минимальной потерей времени. Я предлагаю следующий алгоритм построения.

Сначала находим вершину параболы. Для этого берём первую производную и приравниваем ее к нулю:

grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image089

Если с производными плохо, следует ознакомиться с уроком Как найти производную?

Итак, решение нашего уравнения: grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image025 – именно в этой точке и находится вершина параболы. Почему это так, можно узнать из теоретической статьи о производной и урока обэкстремумах функции. А пока рассчитываем соответствующее значение «игрек»:

grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image092

Таким образом, вершина находится в точке grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image094

Теперь находим другие точки, при этом нагло пользуемся симметричностью параболы. Следует заметить, что функция grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image087 – не является чётной, но, тем не менее, симметричность параболы никто не отменял.

В каком порядке  находить остальные точки, думаю, будет понятно из итоговой таблицы:

grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image096

Данный алгоритм построения образно можно назвать «челноком». Возможно, не все врубаются в суть челнока, тогда для сравнения напоминаю известную телепередачу «туды-сюды с Анфисой Чеховой».

Выполним чертеж:

Как быстро построить параболу?
Из рассмотренных графиков вспоминается еще один полезный признак:

Для квадратичной функции grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image055 (grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image040) справедливо следующее:

Если grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image101, то ветви параболы направлены вверх.

Если grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image103, то ветви параболы направлены вниз.

Углублённые знания о кривой можно получить на уроке Гипербола и парабола.

 

Кубическая парабола

Кубическая парабола задается функцией grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image105. Вот знакомый со школы чертеж:

Кубическая парабола
Перечислим основные свойства функции grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image105

Область определения – любое действительное число:grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image062.

Область значений – любое действительное число:grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image109.

Функция grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image111 является нечётной. Если функция является нечётной, то ее график симметричен относительно начала координат. Аналитически нечётность функции выражается условием grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image113. Выполним проверку для кубической функции, для этого вместо «икс» подставим «минус икс»: 
grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image115, значит, функция grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image105 является нечетной.

Функция grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image105 не ограничена. На языке пределов функции это можно записать так: grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image118grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image120

Кубическую параболу тоже эффективнее строить с помощью Анфисы Чеховой алгоритма «челнока»:

grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image122

Наверняка, вы заметили, в чем ещё проявляется нечетность функции. Если мы нашли, что grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image124, то при вычислении grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image126 уже не нужно ничего считать, автоматом записываем, что grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image128. Эта особенность справедлива для любой нечетной функции.

Теперь немного поговорим о графиках многочленов.

График любого многочлена третьей степени grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image130 (grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image040) принципиально имеет следующий вид:

Многочлен третьей степени
В этом примере коэффициент при старшей степени grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image103, поэтому график развёрнут «наоборот». Принципиально такой же вид имеют графики многочленов 5-ой, 7-ой, 9-ой и других нечетных степеней. Чем выше степень, тем больше промежуточных «загибулин».

Многочлены 4-ой, 6-ой и других четных степеней имеют график принципиально следующего вида:

Многочлен четвертой степени
Эти знания полезны при исследовании графиков функций.

 

График функции grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image137

Он представляет собой одну из ветвей параболы. Выполним чертеж:

График корня из икс
Основные свойства функции grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image137:

Область определенияgrafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image142.

Область значений: grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image144.

То есть, график функции полностью находится в первой координатной четверти.

Функция grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image137 не ограничена сверху. Или с помощью предела: grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image147

При построении простейших графиков с корнями также уместен поточечный способ построения, при этом выгодно подбирать такие значения «икс», чтобы корень извлекался нацело:

grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image149

На самом деле хочется разобрать еще примеры с корнями, например, grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image151, но они встречаются значительно реже. Сейчас я ориентируюсь на более распространенные случаи, и, как показывает практика, что-нибудь вроде grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image153 приходиться строить значительно чаще. Однако унывать не нужно, в других статьях я рассмотрю самые разнообразные функции и их графики, корни в том числе.

 

График гиперболы

Опять же вспоминаем тривиальную «школьную» гиперболу grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image002.

Выполним чертеж:
График гиперболы
Основные свойства функции grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image002:

Область определенияgrafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image007.

Область значений: grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image009.

Запись grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image011 обозначает: «любое действительное число, исключая ноль»

В точке grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image013 функция терпит бесконечный разрыв. Или с помощью одностороннихпределов: grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image015grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image017. Немного поговорим об односторонних пределах. Запись grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image019 обозначает, что мы бесконечно близко приближаемся по оси grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image021 к нулю слева. Как при этом ведёт себя график? Он уходит вниз на минус бесконечность, бесконечно близко приближаясь к оси grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image023. Именно этот факт и записывается пределом grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image015. Аналогично, запись grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image025 обозначает, что мы бесконечно близко приближаемся по оси grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image021 к нулю справа.  При этом ветвь гиперболы уходит вверх на плюс бесконечность,бесконечно близко приближаясь к оси grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image023. Или коротко: grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image017.

Такая прямая (к которой бесконечно близко приближается график какой-либо функции) называется асимптотой.

В данном случае ось grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image023 является вертикальной асимптотой для графика гиперболы при grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image027.

Будет ГРУБОЙ ошибкой, если при оформлении чертежа по небрежности допустить пересечение графика с асимптотой.

Также односторонние пределы grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image015grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image017 говорят нам о том, что гипербола не ограничена сверху и не ограничена снизу.

Исследуем функцию на бесконечности: grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image029, то есть, если мы начнем уходить  по оси grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image021 влево (или вправо) на бесконечность, то  «игреки» стройным  шагом будут бесконечно близко приближаться к нулю, и, соответственно, ветви гиперболы бесконечно близкоприближаться к оси grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image021.

Таким образом, ось grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image021 является горизонтальной асимптотой для графика функцииgrafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image002, если «икс» стремится к плюс или минус бесконечности.

Функция grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image002 является нечётной, а, значит, гипербола симметрична относительно начала координат. Данный факт очевиден из чертежа, кроме того, легко проверяется аналитически: grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image032.

График функции вида grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image034 (grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image036) представляют собой две ветви гиперболы.

Если grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image038, то гипербола расположена в первой и третьей координатных четвертях(см. рисунок выше).

Если grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image040, то гипербола расположена во второй и четвертой координатных четвертях.

Указанную закономерность места жительства гиперболы нетрудно проанализировать с точки зрения геометрических преобразований графиков.

Пример 3

Построить правую ветвь гиперболы grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image042

Используем поточечный метод построения, при этом, значения grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image044 выгодно подбирать так, чтобы делилось нацело:

grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image046

Выполним чертеж:

Правая ветвь гиперболы
Не составит труда построить и левую ветвь гиперболы, здесь как раз поможет нечетность функции. Грубо говоря, в таблице поточечного построения мысленно добавляем к каждому числу минус, ставим соответствующие точки и прочерчиваем вторую ветвь.

Детальную геометрическую информацию о рассмотренной линии можно найти в статьеГипербола и парабола.

 

График показательной функции

В данном параграфе я сразу рассмотрю экспоненциальную функцию grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image050, поскольку в задачах высшей математики в 95% случаев встречается именно экспонента.

Напоминаю, что grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image052 – это иррациональное число: grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image054, это потребуется при построении графика, который, собственно, я без церемоний и построю. Трёх точек, пожалуй, хватит:

grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image056

График экспоненциальной функции (экспоненты)

График функции grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image060 пока оставим в покое, о нём позже.

Основные свойства функции grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image050:

Область определенияgrafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image063 – любое «икс».

Область значений: grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image065. Обратите внимание, что ноль не включается в область значений. Экспонента – функция положительная, то есть для любого «икс» справедливо неравенство grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image067, а сам график экспоненты полностью расположен в верхней полуплоскости.

Функция не ограничена сверху: grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image069, то есть, если мы начнем уходить по оси grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image021 вправо на плюс бесконечность, то соответствующие значения «игрек» стройным шагом будут тоже уходить вверх на grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image072 по оси  grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image023. Кстати, график экспоненциальной функции будет «взмывать» вверх на бесконечность очень быстро и круто, уже при  grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image075 grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image077

Исследуем поведение функции на минус бесконечности: grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image079. Таким образом, ось grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image021 является горизонтальной асимптотой для графика функцииgrafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image060, если grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image081.

Принципиально такой же вид имеет любая показательная функция grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image083, если grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image085. Функции grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image087grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image089grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image091 будут отличаться только крутизной наклона графика, причем, чем больше основание, тем круче будет график.

Обратите внимание, что во всех случаях графики проходят через точку grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image093, то есть grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image095.Это значение должен знать даже «двоечник».

Теперь рассмотрим случай, когда основание grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image097. Снова пример с экспонентой grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image099 – на чертеже соответствующий график прочерчен малиновым цветом? Что произошло? Ничего особенного – та же самая экспонента, только она «развернулась в другую сторону». Об этой метаморфозе можно получить подробную информацию в статьеПостроение графиков с помощью геометрических преобразований.

Принципиально так же выглядят графики функций grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image101grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image103 и т. д.

Должен сказать, что второй случай встречается на практике реже, но он встречается, поэтому я счел нужным включить его в данную статью.

 

График логарифмической функции

Рассмотрим функцию с натуральным логарифмом grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image105.
Выполним поточечный чертеж:

grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image107

Если позабылось, что такое логарифм, пожалуйста, обратитесь к школьным учебникам.

График логарифмической функции (логарифма)

Основные свойства функции grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image105:

Область определенияgrafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image112

Область значений: grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image114.

Функция не ограничена сверху: grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image116, пусть и медленно, но ветка логарифма уходит вверх на бесконечность.
Исследуем поведение функции вблизи нуля справа: grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image118. Таким образом, ось grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image023 является вертикальной  асимптотой для графика функцииgrafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image105 при «икс» стремящемся к нулю справа.

Обязательно нужно знать и помнить типовое значение логарифмаgrafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image121.

Принципиально так же выглядит график логарифма при основании grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image085grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image124grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image126grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image128 (десятичный логарифм по основанию 10) и т.д. При этом, чем больше основание, тем более пологим будет график.

Случай grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image097 рассматривать не будем, что-то я не припомню, когда последний раз строил график с таким основанием. Да и логарифм вроде grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image124 в задачах высшей математики ооочень редкий гость.

В заключение параграфа скажу еще об одном факте: Экспоненциальная функция grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image050 и логарифмическая функция grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image105 – это две взаимно обратные функции. Если присмотреться к графику логарифма, то можно увидеть, что это – та же самая экспонента, просто она расположена немного по-другому.

 

Графики тригонометрических функций

С чего начинаются тригонометрические мучения в школе? Правильно. С синуса

Построим график функции grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image130

График синуса (синусоида)

Данная линия называется синусоидой.

Напоминаю, что «пи» – это иррациональное число: grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image134, и в тригонометрии от него в глазах рябит.

Основные свойства функции grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image130:

Данная функция является периодической с периодом grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image137. Что это значит? Посмотрим на отрезок grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image139. Слева и справа от него бесконечно повторяется точно такой же кусок графика.

Область определенияgrafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image063, то есть для любого значения «икс» существует значение синуса.

Область значений: grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image142. Функция grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image130 является ограниченнойgrafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image145, то есть, все «игреки» сидят строго в отрезке grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image147
Такого не бывает: grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image149 или grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image151, точнее говоря, бывает, но указанные уравнения не имеют решения.

Синус – это функция нечетная, синусоида симметричная относительно начала координат, и справедлив следующий факт: grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image153. Таким образом, если в вычислениях встретится, например, grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image155, то минус терять здесь ни в коем случае нельзя! Он выносится: grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image157

Как ведет себя синус на бесконечности? Попробуем провести исследование с помощью пределов:
grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image159grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image161 Чему равны такие пределы? Запомните, данных пределов не существует. По вполне понятным причинам, график синуса болтается как как неприкаянный, то дойдет единицы, то уйдет к минус единице и так до бесконечности.

Вот вам пример, когда предела не существует. В высшей математике это можно встретить не очень часто, но такое понятие, как «предела не существует» – существует!

В практических вычислениях желательно (и даже обязательно) знать и помнить следующие значения синуса: grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image163grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image165grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image167. Другие значения синуса (а также остальных тригонометрических функций) можно найти в методическом материале Тригонометрические таблицы.

График косинуса

Построим график функции grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image169

График косинуса

График косинуса – это та же самая синусоида, сдвинутая вдоль оси grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image021 на grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image174 влево
(см. также Пример 8 урока о геометрических преобразованиях графиков).

Поэтому почти все свойства синуса справедливы и для косинуса. За некоторым, но существенным исключением.

Косинус – это функция четная, ее график симметричен относительно оси  grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image023, и справедлив следующий факт: grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image177. То есть, минус перед аргументом косинуса можно безболезненно убирать (или наоборот, ставить). В отличие от синуса в косинусе минус «бесследно пропадает».

Для решения практических задач нужно знать и помнить следующие значения косинуса: grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image179grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image181grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image183.

Графики тангенса и котангенса

Построим график функции grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image185

График тангенса
Основные свойства функции grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image185:

Данная функция является периодической с периодом grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image190. То есть, достаточно рассмотреть отрезок grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image192, слева и справа от него ситуация будет бесконечно повторяться.

Область определенияgrafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image194 – все действительные числа, кроме …  grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image196grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image198grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image200grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image202… и т. д. или коротко: grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image204, где grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image206 – любое целое число. Множество целых чисел (… -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …) в высшей математике обозначают жирной буквой Z.

Область значений: grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image208. Функция grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image185 не ограничена. В этом легко убедиться и аналитически:
grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image210 – если мы приближаемся по оси grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image021 к значению grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image212 справа, то ветка тангенса уходит на минус бесконечность, бесконечно близко приближаясь к своей асимптоте grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image214.
grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image216 – если мы приближаемся по оси grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image021 к значению grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image218 слева, то «игреки» шагают вверх на плюс бесконечность, а ветка тангенса бесконечно близко приближается к асимптоте grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image200.

Тангенс – функция нечетная, как и в случае с синусом, минус из-под тангенса не теряется, а выносится: grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image221.

В практических вычислениях полезно помнить следующие значения тангенса: grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image223grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image225grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image227, а также те точки, в которых тангенса не существует (см. график).

График котангенса – это почти тот же самый тангенс, функции связаны тригонометрическим соотношением grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image999. Вот его график:

График котангенса
Свойства попробуйте сформулировать самостоятельно, они практически такие же, как и у тангенса.

 

Графики обратных тригонометрических функций

Построим график арксинуса grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image233

График арксинуса
Перечислим основные свойства функции grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image233:

Область определенияgrafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image238, не существует значений вроде grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image240 или grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image242

Область значений: grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image244, то есть,  функция grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image233 ограничена.

Арксинус – функция нечетная, здесь минус опять же выносится: grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image246.

В практических вычислениях полезно помнить следующие значения арксинуса: grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image248grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image250grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image252. Другие распространенные значения арксинуса (а также других «арков») можно найти с помощью таблицы значений обратных тригонометрических функций.

Построим график арккосинуса grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image258

График арккосинуса
Очень похоже на арксинус, свойства функции сформулируйте самостоятельно. Остановлюсь на единственном моменте. В данной статье очень много разговоров шло о четности  и нечетности функций, и, возможно, у некоторых сложилось впечатление, что функция обязательно должна быть четной или нечетной. В общем случае, это, конечно, не так. Чаще всего, функция, которая вам встретится на практике – «никакая». В частности, арккосинус не является четной или нечетной функцией, он как раз «никакой».

Построим график арктангенса grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image262

График арктангенса

Всего лишь перевернутая ветка тангенса. 
Перечислим основные свойства функции grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image262:

Область определенияgrafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image063

Область значений: grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image244, то есть,  функция grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image262 ограничена.
У рассматриваемой функции есть две асимптоты: grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image267grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image269.

Арктангенс – функция нечетнаяgrafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image271.

Самые «популярные» значения арктангенса, которые встречаются на практике, следующие: grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image273grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image275.

К графику арккотангенса grafiki_i_svoistva_funkcij_clip_image277 приходится обращаться значительно реже, но, тем не менее, вот его чертеж:

График арккотангенса

Свойства арккотангенса вы вполне сможете сформулировать самостоятельно. Отмечу,  что арккотангенс, как и арккосинус, не является четной или нечетной функцией.


05.06.2014; 16:57
хиты: 97
рейтинг:0
Точные науки
математика
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2024. All Rights Reserved. помощь