пользователей: 21265
предметов: 10469
вопросов: 178036
Конспект-online
зарегистрируйся или войди через vk.com чтобы оставить конспект.
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

I семестр:
» Матан

Основные свойства функций

равило, с помощью которого каждому элементу из множества Х мы ставим в соответствие единственный элемент из множества Y, называется числовой функцией. 

Множество Х называется областью определения функции.

Множество Y называется множеством значений значений функции.

Равенство  y=f(x) называется уравнением функции. В этом уравнении x  - независимая переменная, или аргумент функцииy  - зависимая переменная.

Если мы возьмем все пары (x,y) и поставим им в соответствие соответствующие точки координатной плоскости, то  получим график функции. График функции – это графической изображение зависимости между множествами Х и Y.

Свойства функции мы можем определить, глядя на график функции, и, наоборот, исследуя свойства функции мы можем построить ее график.

Основные свойства функций. 

1. Область определения функции.

Область определения функции D(y)-это множество всех допустимых значений аргумента x ( независимой переменной x), при которых выражение, стоящее в правой части уравнения функции  y=f(x) имеет смысл. Другими словами, это область допустимых значений выражения f(x).

Чтобы по графику функции y=f(x)найти ее область определения, нужно, двигаясь слева направо вдоль оси ОХ, записать все промежутки значений х, на которых существует график функции.

2. Множество значений функции.

Множество значений функции  Е(y)- это множество всех значений, которые может принимать  зависимая переменная y.

Чтобы по графику функции y=f(x) найти ее множество значений, нужно, двигаясь снизу вверх вдоль оси OY, записать все промежутки значений y, на которых существует график функции.

3.  Нули функции.

Нули функции – это те значения аргумента х, при которых значение функции (y) равно нулю.

Чтобы найти нули функции y=f(x), нужно решить уравнение  f(x)=0. Корни этого уравнения и будут нулями функции y=f(x).

Чтобы найти нули функции y=f(x)по ее графику, нужно найти точки пересечения графика с осью ОХ. Абсциссы точек пересечения и будут нулями функции  y=f(x).

4. Промежутки знакопостоянства функции. 

Промежутки знакопостоянства функции y=f(x) – это такие промежутки значений аргумента, на которых функция сохраняет свой знак, то есть 0"f(x) и  f(x)<0.

Чтобы найти  промежутки знакопостоянства функции y=f(x) по ее графику, нужно

  • найти промежутки значений аргумента х, при которых график функции расположен выше оси ОХ – при этих значениях аргумента f(x)>0″ title=»f(x)>0″/>,<img data-cke-saved-src=
  • найти промежутки значений аргумента х, при которых график функции расположен ниже оси ОХ – при этих значениях аргумента  f(x)<0

 

5. Промежутки монотонности функции.

Промежутки монотонности функции y=f(x) – это такие промежутки значений  аргумента х, при которых функция y=f(x) возрастает или убывает.

Говорят, что функция  y=f(x) возрастает на промежутке I, если для любых двух значений аргумента  x_1, x_2, принадлежащих промежутку I таких, что  x_1< x_2 выполняется соотношение: {f(x_1)}<{f( x_2)}.

Другими словами, функция  y=f(x) возрастает на промежутке I, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Чтобы по графику функции y=f(x) определить промежутки возрастания функции, нужно, двигаясь  слева направо по линии графика функции, выделить промежутки значений аргумента х, на которыхграфик идет вверх.

Говорят, что функция  y=f(x) убывает на промежутке I, если для любых двух значений аргумента  x_1, x_2, принадлежащих промежутку I таких, что  x_1< x_2 выполняется соотношение: "{f(x_0)}{f(x)}» title=»{f(x_0)}>{f(x)}»/>. http:=

Графически это означает что точка с абсциссой  x_0 лежит выше других точек из окрестности I графика функции y=f(x).

Точка x_0 называется точкой минимума  функции y=f(x), если существует такая окрестность I точки x_0, что для любой точки х из этой окрестности выполняется соотношение:

{f(x_0)}<{f(x)}

Графически это означает что точка с абсциссой  x_0 лежит ниже других точек  из окрестности I графика функции y=f(x).

Обычно мы находим точки максимума и минимума функции, проводя исследование функции с помощью производной.

 7. Четность (нечетность) функции.

Функция y=f(x) называется четной, если выполняются два условия:

а) Для любого значения аргумента x, принадлежащего области определения функции,  -x также принадлежит области определения функции.

Другими словами, область определения  четной функции y=f(x)симметрична относительно начала координат.

б)  Для любого значения аргумента х, принадлежащего области определения функции, выполняется соотношение f( -x)=f(x).

Функция y=f(x) называется нечетной, если выполняются два условия:

а) Для любого значения аргумента x, принадлежащего области определения функции, -x также принадлежит области определения функции.

Другими словами, область определения нечетной функции y=f( -x)симметрична относительно начала координат.

б)  Для любого значения аргумента х, принадлежащего области определения функции, выполняется соотношение f( -x)=-f(x).

Все функции делятся на четные, нечетные, и те, которые не являются четными и не являются нечетными. Они называются функциями общего вида.

Чтобы определить четность функции, нужно:

а). Найти область определения функции y=f(x), и определить, является ли она симметричным множеством.

Если, например,  число х=2 входит в область определения функции, а число х=-2 не входит, то D(y) не является симметричным множеством, и функция y=f(x) – функция общего вида.

Если область определения  функции y=f(x) – симметричное множество, то проверяем п. б)

б). В уравнение функции y=f(x)  нужно вместо х подставить -х, упростить полученное выражение, и постараться привести его к виду f(x)  или -f(x).

Если f( -x)=f(x), то функция четная.

Если f( -x)=-f(x), то функция нечетная.

Если не удалось привести ни к тому ни к другому, то наша функция y=f(x) – общего вида.

График четной функции симметричен относительно оси ординат ( прямой OY ).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат ( точки (0,0) ).

8. Периодичность функции.

Функция y=f(x) называется периодической, если существует такое положительное число Т, что

  • для любого значения х из области определения функции, х+Т также принадлежит D(x)
  • f(x)=f(x+T)

В программе средней школы из числа периодических функций изучают только тригонометрические функции.


05.06.2014; 16:50
хиты: 1608
рейтинг:0
Точные науки
математика
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2016. All Rights Reserved. помощь