Определение: Моментом силы относительно неподвижной оси называется скалярная величина, равная проекции на эту ось момента силы относительно произвольной точки данной оси.
В частном случае вращательного движения точки по окружности, момент силы, лежащей в плоскости вращения, равен , где a - угол между радиусом окружности и силой (предполагается, что точка приложения силы совпадает с местоположением вращающейся точки). Если же сила находится под углом к плоскости вращения, то её момент относительно неподвижной оси равен , где - угол наклона силы к плоскости вращения. Если вращение происходит по окружности и сила является касательной, то её момент относительно неподвижной оси равен .
Определение: Главный момент (результирующий момент) относительно неподвижной оси системы сил равен алгебраической сумме моментов относительно этой оси всех сил системы, т.е. .
Определение: Моментом импульса (моментом количества движения) материальной точки относительно полюса называется векторная величина, равная векторному произведению радиус-вектора, проведённого из полюса в место нахождения материальной точки, на вектор её импульса, т.е.
, где - масса и скорость материальной точки.
Момент импульса — псевдовекторная величина. Направление этого вектора находится по тому же правилу, сто и нахождение момента силы (вращение рукоятки буравчика по направлению вектора скорости)
Определение: Моментом импульса системы материальных точек относительно полюса называется векторная величина, равная векторной сумме моментов импульсов относительно полюса всех материальных точек системы, т.е. , где - масса, радиус-вектор и скорость «i-ой» точки системы.
Определение: Моментом импульса материальной точки относительно неподвижной оси называется скалярная величина, равная проекции на эту ось момента импульса этой точки относительно произвольной точки данной оси.
Определение: Моментом импульса системы материальных точек относительно неподвижной оси называется скалярная величина, равная проекции на эту ось момента импульса системы относительно произвольной точки данной оси.
В частном случае вращательного движения точки по окружности, момент её импульса равен:
, где a - угол между радиусом окружности и скоростью.
Физический смысл момента импульса: Момент импульса характеризует интенсивность вращательного движения.
Закон сохранения момента импульса.
Как уже указывалось, законы сохранения энергии и импульса связаны с однородностью времени и пространства, соответственно. Но у трехмерного пространства, в отличие от одномерного времени, имеется еще одна симметрия. Пространство само по себе изотропно, в нем нет выделенных направлений. С этой симметрией связан закон сохранения момента импульса. Эта связь проявляется в том, что момент количества движения, является одной из основных величин, описывающих вращательное движение.
По определению момент импульса отдельной частицы равен .
Направление вектора L определяется по правилу буравчика (штопора), а его величина равна L = r× p× sinj , где
j - угол между направлениями радиус-вектора частицы и ее импульса. Величина ℓ = r× sinj равна расстоянию от начала координат О до прямой, вдоль которой направлен импульс частицы. Эта величина называется плечом импульса. Вектор L зависит от выбора начала координат, поэтому говоря о нем, обычно указывают: "момент импульса относительно точки О".
Рассмотрим производную по времени от момента импульса:
.Первое слагаемое равно нулю, т.к. . Во втором слагаемом, согласно второму закону Ньютона, производную по импульсу можно заменить на действующую на тело силу. Векторное произведение радиус-вектора на силу называется моментом силы относительно точки О: .
Направление момента силы определяется тем же правилом буравчика. Его величина М = r× F× sina , где
a - угол между радиус-вектором и силой. Аналогично тому, как это было сделано выше, определяется и плечо силы
ℓ = r× sina — расстояние от точки О до линии действия силы. В итоге получаем уравнение движения для момента импульса частицы: .
По форме уравнение аналогично второму закону Ньютона: вместо импульса частицы стоит момент импульса, а вместо силы — момент силы. Если , то , т.е. момент импульса постоянен в отсутствие внешних моментов сил.
Формулировка закона: Момент импульса замкнутой системы относительно полюса не изменяется с течением времени.
В частном случае вращения относительно неподвижной оси, имеем: , где
- начальные момент инерции и угловая скорость тела относительно рассматриваемой оси, а
- конечные момент инерции и угловая скорость тела относительно рассматриваемой оси.
Закон сохранения полной механической энергии с учётом вращательного движения: полная механическая энергия консервативной системы постоянна: .