Выбор распределения потребления во времени известен как межвременной выбор.

Бюджетное ограничение

Представим себе потребителя, который решает, сколько данного товара потребить в каждом из двух временных периодов. Мы, как правило, будем считать такой товар композитным товаром, подобным описанному в главе 2, но можно, если хотите, считать его и конкретным товаром. Обозначим величину потребления в каждом периоде через (с1,с2) и предположим, что цены потребления в каждом периоде постоянны и равны 1. Сумму денег, имеющуюся у потребителя в каждом периоде, обозначим через (m1,m2).

Вначале предположим, что единственный способ, которым потребитель может перевести деньги из периода 1 в период 2, - это сбережение денег без получения процента. Более того, пока предположим, что у него нет возможности занимать деньги, так что максимальная сумма, которую он может истратить в периоде 1, есть m1.

Бюджетное ограничение. Это - бюджетное ограничение для случая, когда ставка процента равна нулю и брать деньги взаймы не разрешается. Чем меньше потребит данный индивид в период 1, тем больше он может потребить в период 2.

Мы видим, что у потребителя имеется выбор двоякого рода. Он может предпочесть потреблять в точке (m1,m2), что означает просто потребление своего дохода в каждом периоде, или же может предпочесть потребить в периоде 1 не весь свой доход. В этом последнем случае потребитель откладывает часть потребления первого периода на более позднее время.

Теперь позволим потребителю брать и давать взаймы по некой ставке процента r. Сохраняя для удобства цены потребления в каждом периоде на уровне 1, выведем уравнение бюджетного ограничения. Сперва допустим, что потребитель решает делать сбережения, так что величина его потребления в первом периоде, c1, меньше дохода первого периода, m1. В этом случае он заработает процент на сберегаемую им сумму, m1-c1, исходя из ставки процента r. Сумма, которую он может израсходовать на потребление в следующем периоде, задана выражением

Оно говорит нам, что в периоде 2 потребитель может истратить на потребление сумму, равную его доходу плюс сумма сбережений, сделанных в период 1, плюс процент, заработанный на эти сбережения.

Предположим теперь, что потребитель является заемщиком, так что его потребление в первом периоде превышает его доход первого периода. Потребитель выступаетт заемщиком, если с1>m1, и процент, который ему придется платить во втором периоде, составит r(c1-m1). Разумеется, ему придется также вернуть и взятую взаймы сумму, (c1-m1). Это означает, что его бюджетное ограничение задано уравнением

C2=m2-r(c1-m1)-(c1-m1)=m2+(1+r)(m1-c1)

что в точности совпадает с уравнением, записанным нами ранее. Если величина m1-c1 положительна, то потребитель зарабатывает процент на эти сбережения; если же величина m1-c1 отрицательна, потребитель платит процент на взятую взаймы сумму.

Если c1=m1, то с необходимостью и c2=m2, и потребитель не является ни заемщиком, ни кредитором. Мы можем назвать эту потребительскую позицию "точкой Полония".

Можно преобразовать уравнение бюджетного ограничения для данного потребителя, получив два полезных альтернативных вида этого уравнения:

(1+r)c1+c2=(1+r)m1+m2

Межвременной выбор

Поведенческая экономика также изучает межвременной выбор. Межвременной выбор в значительной степени противоречив, как, например, показывает модель дисконтирования по гиперболе Джорджа Эйнсли (1975). Дэвид Лейбсон, Тед О’Донохью и Мэттью Рабин внесли свой вклад в развитие этой наиболее активно проверяемой гипотезы. Модель гиперболического дисконтирования описывает тенденцию дисконтировать полезность по гиперболически убывающей ставке. Простая модель дисконтирования предполагает, что если 1) полезность (Ut+1) в момент времени t+1 привести к моменту t, и субъект будет использовать ставку дисконтирования r1, и 2) полезность (Ut+2) в момент времени t+2 привести к моменту t+1, то субъект будет использовать ставку дисконтирования r2, то r1=r2. Гипотеза Эйнсли говорит о том, что r — функция вида гиперболы от t: чем ближе момент t к настоящему моменту, тем важнее для нас полезность, тем больше r. По мере отдаления получения полезности во времени стимул её получать практически исчезает, r убывает, и убывает очень быстро. Такое поведение ставки дисконтирования можно объяснить с помощью моделей субаддитивного дисконтирования, которые различают задержку и интервал дисконтирования: если интервал дисконтирования небольшой (выгода ожидается скоро), люди менее терпеливы в ситуации, когда срок наступил, а выплата откладывается. В последние годы исследователи указывают на то, что человек конструирует предпочтения при дисконтировании. Дисконтирование во многом зависит от ожиданий, фреймов, направленности внимания, направленности мыслей, настроения, символов и знаков, уровня глюкозы в крови, а также шкалы, используемой для описания того, что дисконтируется. Известные ученые ставят под сомнение тот факт, что дисконтирование, являясь основным параметром межвременного выбора, в действительности описывает, что именно люди делают, когда их выбор имеет последствия в будущем. Учитывая непостоянство ставки дисконтирования, это предположение может иметь смысл.

Уравнение Слуцкого

уравнение, смысл которого состоит в том, что изменение спроса на некоторый товар при повышении или снижении его цены складывается из влияния непосредственного изменения спроса и косвенного влияния в результате переключения спроса на другие товары. Данное уравнение показывает, что изменение в спросе на i-й товар при изменении цены j-го товара является результатом двух эффектов: эффекта замещения и эффекта дохода.

Математически уравнение Слуцкого выводится из дифференцирования маршалловского спроса на i-й товар по цене j-го товара с использованием того факта, что маршалловский спрос выражается через компенсированный спрос:

$x_i(p, \bar u) = x_i(p, e(p, \bar u)),$

$\frac{\partial x_i(\tilde p, \tilde I)}{\partial p_j} = \frac{\partial x_i(\tilde p, \bar u)}{\partial p_j} + \frac{\partial e(\tilde p, \bar u)}{\partial p_j} \cdot \frac{\partial x_i(\tilde p, \tilde I)}{\partial I} = \frac{\partial x_i(\tilde p, \bar u)}{\partial p_j} - x_j(\tilde p, \tilde I) \cdot \frac{\partial x_i(\tilde p, \tilde I)}{\partial I},$

где $\tilde p, \tilde I, \bar u$ — заданные уровни цен, дохода и полезности. Корректность последнего перехода в уравнении Слуцкого объясняется леммой Шепарда.

Первое слагаемое в уравнении Слуцкого показывает реакцию на изменение относительных цен и носит название эффекта замещения; второе слагаемое показывает реакцию на изменение дохода и носит название эффекта дохода.

Матрица Слуцкого

Частные производные $s_{ij} = \frac{\partial x_i(p, u)}{\partial p_j} = \frac{\partial x_i(p, I)}{\partial p_j} + x_j(p, I)\cdot\frac{\partial x_i(p, I)}{\partial I}$ могут быть сведены в матрицу Слуцкого коэффициентов замещения S(p, I), обладающую следующими свойствами:

Симметричность: $s_{ij} = s_{ji}$ (следует из леммы Шепарда и теоремы Юнга);
Отрицательная полуопределенность;
Равенство нулю при умножении на вектор цен: $S(p, I)\mathbf{p} = 0$ .

Матричное представление полезно тем, что свойства матрицы позволяют не вычислять непосредственно все частные производные.

Дисконтированная (приведённая, текущая) стоимость — оценка стоимости (текущий денежный эквивалент) будущего потока платежей исходя из различной стоимости денег, полученных в разные моменты времени (концепция временно́й ценности денег). Денежная сумма, полученная сегодня, обычно имеет более высокую стоимость, чем та же сумма, полученная в будущем. Это связано с тем, что деньги, полученные сегодня, могут принести в будущем доход после их инвестирования. Кроме того, деньги полученные в будущем в условиях инфляции обесцениваются (на ту же сумму в будущем можно приобрести меньшее количество товаров и услуг). Также есть другие факторы снижающие стоимость будущих платежей. Неравноценность разновременных денежных сумм численно выражается в ставке дисконтирования.

Дисконтированная стоимость некоторой будущей суммы равна денежной сумме, при инвестировании которойсейчас (с доходностью, равной ставке дисконтирования), в будущем (в тот же момент времени) будет получена сумма . Дисконтированная стоимость потока платежей равна сумме дисконтированных стоимостей отдельных платежей, входящих в этот поток. Она фактически равна дисконтированной величине будущей стоимости денежного потока (сумма, которая будет получена в будущем, если денежный поток инвестировать в моменты получения платежей под ставку дисконтирования).

Дисконтированная стоимость широко используется в экономике и финансах как инструмент сравнения потоков платежей, получаемых в разные сроки. Модель дисконтированной стоимости позволяет определить, какой объём финансовых вложений готов сделать инвестор для получения данного денежного потока. Дисконтированная стоимость будущего потока платежей является функцией ставки дисконтирования, которая может определяться в зависимости от:

доходности альтернативных вложений;
стоимости привлечения (заимствования) средств;
инфляции;
срока, через который ожидается будущий поток платежей;
риска, связанного с данным будущим потоком платежей;
других факторов.

Показатель дисконтированной стоимости используется в качестве основы для вычисления амортизации финансовых заимствований.

Дисконтированная стоимость денежных потоков

Денежным потоком называют распределённое во времени движение денежных средств. Во многих случаях (депозиты, кредиты, ценные бумаги и др.) денежный поток представляет собой упорядоченную по времени совокупность денежных сумм (платежей) — это так называемый дискретный денежный поток или поток платежей. Таким образом, поток платежей $CF=(CF_1, CF_2, .... , CF_n)$ , где $\,CF_k$ — платёж, осуществляемый в момент времени $t_k$ , $k=1..n$ . При этом формально n может быть также и бесконечным (бесконечный поток платежей). Если платежи осуществляются через равные промежутки времени, то иногда такой поток платежей называют финансовой рентой. Рента с постоянной величиной платежа называется аннуитетом (в некоторых источниках финансовая рента и аннуитет — эквивалентные понятия).

В некоторых случаях частота платежей может быть настолько большой, что денежный поток можно считать непрерывным. В частности, это имеет место для денежных потоков от обычнойоперационной деятельности компаний, потоков от инвестиционных проектов и т. д. Формально для непрерывных потоков можно ввести функцию плотности потока $c(t)$ . Однако, на практике непрерывное время заменяется дискретным. А именно анализируемый период разбивается на равные периоды (месяц, квартал, год) и каждый период получает последовательный номер (это и есть дискретное время). Тогда денежный поток за каждый такой период $CF_t$ является фактически платежом в дискретный момент времени, соответствующий этому периоду. Таким образом непрерывный поток сводится, точнее моделируется как дискретный поток (поток платежей), описанный выше. Часто это интерпретируется также как платежи, осуществляемые в конце соответствующего периода — это так называемый поток постнумерандо. В некоторых случаях потоки рассматривают как платежи в начале каждого периода — поток пренумерандо.

Таким образом, можно считать, что денежный поток CF задаётся всегда упорядоченной совокупностью денежных сумм $CF_t$ — элементов денежного потока (платежей).

Дисконтированная стоимость потока платежей

Дисконтированная стоимость потока платежей $CF=(CF_1, CF_2, .... , CF_n)$ , где $\,CF_k$ — платёж, осуществляемый в момент времени $t_k$ , $k=1..n$ , равна сумме дисконтированных стоимостей каждого из составляющих потока:

$PV = \sum^{n}_{k=1}{\frac{CF_k}{(1+i)^{t_k}} \,}$

Облига́ция (лат. obligatio — обязательство; англ. bond — долгосрочная, note — расписка) — эмиссионная долговая ценная бумага, владелец которой имеет право получить от эмитента облигации в оговоренный срок её номинальную стоимостьденьгами или в виде иного имущественного эквивалента. Также облигация может предусматривать право владельца (держателя) на получение процента (купона) от её номинальной стоимости либо иные имущественные права.

Общим доходом по облигации являются сумма выплачиваемых процентов(купонов) и размер дисконта при покупке.

Облигации служат дополнительным источником средств для эмитента, являясь эквивалентом займа. Иногда их выпуск носит целевой характер — дляфинансирования конкретных программ или объектов, доход от которых в дальнейшем служит источником для выплаты дохода по облигациям.

Экономическая суть облигаций очень похожа на кредитование. Облигации позволяют планировать как уровень затрат для эмитента, так и уровень доходов для покупателя, но не требуют оформления залога и упрощают процедуру перехода права требования к новому кредитору. Фактически на рынке облигаций осуществляются средне- и долгосрочные заимствования, обычно сроком от 1 года до 30 лет.

ВОПРОС 8 - Межвременной выбор. Бюджетное ограничение и предпочтения при межвременном выборе.

Уравнение Слуцкого

Матрица Слуцкого

Дисконтированная стоимость денежных потоков

Дисконтированная стоимость потока платежей