Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение линейного уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение вида

где a(x) и b(x) − непрерывные функции x, называтся линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Мы рассмотрим два метода решения указанных уравнений:

• Использование интегрирующего множителя;
• Метод вариации постоянной.

Использование интегрирующего множителя

Если линейное дифференциальное уравнение записано в стандартной форме:

то интегрирующий множитель определяется формулой:

Умножение левой части уравнения на интегрирующий множитель u(x) преобразует ее в производную произведения y(x)u(x). 

Общее решение диффференциального уравнения выражается в виде:

где C − произвольная постоянная.

Метод вариации постоянной

Данный метод аналогичен предыдущему подходу. Сначала необходимо найти общее решение однородного уравнения:

Общее решение однородного уравнения содержит постоянную интегрирования C. Далее мы заменяем константу C на некоторую (пока еще неизвестную) функцию C(x). Подставляя это решение в неоднородное дифференциальное уравнение, можно определить функцию C(x). 

Описанный алгоритм называется методом вариации постоянной. Разумеется, оба метода приводят к одинаковому результату.

Задача Коши

Если, кроме дифференциального уравнения, задано также начальное условие в форме y(x0) = y0, то такая задача называется задачей Коши. 

Решение задачи Коши не содержит произвольной константы C. Ее конкретное числовое значение определяется подстановкой общего решения уравнения в заданное начальное условие y(x0) = y0. 

   Пример 1

Решить уравнение  y' − y − xex = 0.

Решение.

Запишем данное уравнение в стандартной форме:

Будем решать это уравнение, используя интегрирующий множитель:

Тогда общее решение линейного дифференциального уравнения определяется выражением:

   Пример 2

Решить дифференциальное уравнение .

Solution.

Будем решать данную задачу методом вариации постоянной. Сначала найдем общее решение однородного уравнения:

которое решается разделением переменных:

где C − произвольное положительное число. 

Теперь заменим константу C на некоторую (пока неизвестную) функцию C(x) и далее будем искать решение исходного неоднородного уравнения в виде:

Производная равна

Подставляя это в дифференциальное уравнение, получаем:

Интегрируя, находим функцию C(x):

где C1 − произвольное действительное число. 

Таким образом, общее решение заданного уравнения записывается в виде:

   Пример 3

Решить уравнение y' − 2y = x.

Решение.

A. Сначала решим данную задачу с помощью интегрирующего множителя. Наше уравнение уже записано в стандартной форме. Поэтому:

Тогда интегрирующий множитель имеет вид:

Общее решение исходного уравнения записывается в виде:

Вычислим последний интеграл, применяя интегрирование по частям.

Получаем

B. Теперь сконструируем решение методом вариации постоянной. Рассмотрим соответствующее однородное уравнение

и найдем его общее решение:

где C вновь обозначает произвольное действительное число. Заметим, что при C = 0, мы получаем решениеy = 0, которое также удовлетворяет однородному уравнению. 

Далее предположим, что C является функцией x и подставим решение y = C(x)e2x в исходное неоднородное уравнение. Выражение для производной имеет вид:

Следовательно,

Этот интеграл уже был найден в пункте A, поэтому, можно записать:

В результате, общее решение неоднородного дифференциального уравнения выражается формулой:

Как видно, оба метода приводят к одному и тому же ответу :). 

   Пример 4

Решить дифференциальное уравнение x2y' + xy + 2 = 0.

Решение.

Будем решать данный пример методом вариации постоянной. Для удобства запишем уравнение в стандартной форме:

Разделим обе части на x2. Очевидно, что корень x = 0 не является решением уравнения. 

Рассмотрим однородное уравнение:

После простых преобразований получаем ответ: y = C/x, где C − произвольное действительное число. Последнее выражение включает случай y = 0, который также является одним из решений однородного уравнения. 

Теперь заменим константу C на функцию C(x) и подставим решение y = C(x)/x в исходное неоднородное дифференциальное уравнение. Поскольку

то получаем:

Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид:

   Пример 5

Решить задачу Коши: 

Решение.

Сначала вычислим интегрирующий множитель, который записывается в виде

Здесь

Следовательно, интегрирующий множитель определяется формулой:

Мы можем взять функцию  u(x) = cos x в качестве интегрирующего множителя. Легко убедиться, что левая часть уравнения после умножения на интегрирующий множитель становится производной произведенияy(x)u(x):

Тогда общее решение заданного уравнения записывается следующим образом:

Теперь определим постоянную C, котоая удовлетворяет начальному условию y(0) = 1:

Отсюда следует, что C = 4/3. 

Следовательно, решение задачи Коши выражается формулой:

   Пример 6

Решить дифференциальное уравнение (задачу Коши)  с начальным условием y(1) = 2.

Решение.

Определим интегрирующий множитель:

В качестве такого множителя выберем функцию u(x) = x3. Можно проверить, что левая часть уравнения после умножения на интегрирующий множитель будет представлять собой производную произведения y(x)u(x):

Общее решение уравнения записывается в форме:

Теперь можно найти постоянную C, используя начальное условие y(1) = 2. Подстановка общего решения в начальное условие дает следующий результат:

Итак, решение задачи Коши выглядит следующим образом:

   Пример 7

Найти общее решение дифференциального уравнения  y = (2y4 + 2x)y'.

Решение.

Видно, что данное уравнение не является линейным по отношению к функции y(x). Однако мы можем попытаться найти решение для обратной функции x(y). Запишем заданное уравнение через дифференциалы и сделаем некоторые преобразования:

Мы получили линейное дифференциальное уравнение по отношению к функции x(y). Решим его с помощью интегрирующего множителя:

Общее решение в виде обратной функции x(y) выражается формулой: