В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка можно записать в виде где F − заданная функция указанных аргументов. В частных случаях функция f в правой части может содержать лишь одну или две переменных. Такиенеполные уравнения включают в себя 5 различных типов: С помощью определенных подстановок эти уравнения можно преобразовать в уравнения первого порядка.
Итак, рассмотрим указанные случаи понижения порядка более подробно. Случай 1. Уравнение вида y''= f (x) Если дано уравнение y'' = f(x), то его порядок можно понизить введением новой функции p(x), такой, чтоy' = p(x). В результате мы получим дифференциальное уравнение первого порядка Решая его, находим функцию p(x). Затем решаем второе уравнение и получаем общее решение исходного уравнения. Случай 2. Уравнение вида y''= f (y) Здесь правая часть уравнения зависит только от переменной y. Вводим новую функцию p(y), полагая y' = p(y). Тогда можно записать: и уравнение принимает вид: Решая его, находим функцию p(y). Затем находим решение уравнения y' = p(y), то есть функцию y(x). Случай 3. Уравнение вида y''= f (y' ) В данном случае для понижения порядка вводим функцию y' = p(x) и получаем уравнение которое является уравнением первого порядка с разделяющимися переменными p и x. Интегрируя, находим функцию p(x) и затем функцию y(x). Случай 4. Уравнение вида y''= f (x,y' ) Используем подстановку y' = p(x), где p(x) − новая неизвестная функция, и получаем уравнение первого порядка Интегрируя, определяем функцию p(x). Далее решаем еще одно уравнение 1-го порядка и находим общее решение y(x). Случай 5. Уравнение вида y''= f (y,y' ) Для решения такого уравнения, также как и в случае 2, вводим новую функцию p(y), полагая y' = p(y). Дифференцирование этого равенства по x приводит к уравнению В результате наше исходное уравнение записывается в виде уравнения 1-го порядка Решая его, находим функцию p(y). Затем решаем еще одно уравнение первого порядка и определяем общее решение y(x). Случай 6. Функция F(x, y, y', y'') является однородной функцией аргументов y, y', y'' Если левая часть дифференциального уравнения удовлетворяет условию однородности, т.е. для любого k справедливо соотношение то порядок уравнения можно понизить с помощью подстановки После нахождения функции z(x) исходная функция y(x) находится интегрированием по формуле где C2 − постоянная интегрирования. Случай 7. Функция F(x, y, y', y'') является точной производной Если удается найти такую функцию Ф(x, y, y'), не содержащую второй производной y'' и удовлетворяющую равенству то решение исходного уравнения представляется интегралом Таким образом уравнение второго порядка можно привести к уравнению первого порядка. |
Пример 1 |
Решить уравнение y'' = sin x + cos x.
Данный пример относится к случаю 1. Введем функцию y' = p(x). Тогда y'' = p'. Следовательно,
Интегрируя, находим функцию p(x):
Учитывая, что y' = p(x), проинтегрируем еще одно уравнение 1-го порядка:
Последняя формула представлят собой общее решение исходного дифференциального уравнения. |
Пример 2 |
Решить уравнение .
Это уравнение относится к типу 2, где правая часть зависит лишь от переменной y. Введем параметр p = y'. Тогда уравнение можно записать в виде
Мы получили уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными для функции p(y). Интегрируем его:
где C1 − постоянная интегрирования.
Теперь вспомним, что y' = p и решим еще одно уравнение 1-го порядка:
Разделим переменные и проинтегрируем:
Чтобы вычислить левый интеграл, сделаем замену:
Тогда левый интеграл будет равен
В результате мы получаем следующее алгебраическое уравнение:
в котором C1, C2 являются постоянными интегрирования. |
Пример 3 |
Решить уравнение .
Данное уравнение не содержит функции y и независимой переменной x (случай 3). Поэтому полагаемy' = p(x). После этого уравнение принимает вид
Полученное уравнение первого порядка для функции p(x) является уравнением с разделяющимися переменными и легко интегрируется:
Заменяя p на y', получаем
Интегрируя еще раз, находим общее решение исходного дифференциального уравнения:
|
Пример 4 |
Решить уравнение .
В это уравнение не входит явно переменная y, т. е. уравнение относится к типу 4 в нашей классификации. Введем новую переменную y' = p(x). Исходное уравнение преобразуется в уравнение первого порядка:
которое решается разделением переменных:
Интегрируя полученное уравнение еще раз, находим функцию y(x):
Для вычисления последнего интеграла сделаем замену: x = t2, dx = 2tdt. В результате имеем
Возвращаясь обратно к переменной x, окончательно получаем
|
Пример 5 |
Решить уравнение y'' = (2y + 3)(y' )2.
Данное уравнение не содержит явно независимой переменной x, т.е. относится к случаю 5. Пусть y' = p(y). Тогда уравнение запишется в виде
Разделяем переменные и интегрируем:
Интегрируя еще раз, получаем окончательное решение в неявном виде:
где C1, C2 − постоянные интегрирования. |
Пример 6 |
Решить уравнение .
Уравнение удовлетворяет условию однородности. Поэтому сделаем следующую замену переменной: . Производные будут равны
Тогда дифференциальное уравнение принимает вид:
Функция z(x) легко находится:
Исходную функцию y(x) определим по формуле
Вычисления приводят к следующему ответу:
Заметим, что кроме полученного общего решения, дифференциальное уравнение содержит также особое решение y = 0. |
Пример 7 |
Решить уравнение yy'' + (y' )2 = 2x + 1.
Можно заметить, что левая часть уравнения представляет собой производную от yy'. Поэтому, обозначаяz = yy', получаем следующее дифференциальное уравнение:
Последнее уравнение легко решается разделением переменных:
Теперь проинтегрируем еще одно уравнение для y(x):
где C1, C2 − произвольные постоянные. |