Основные законы и аксиомы АЛ позволяют проводить эквивалентные преобразования функций,записанных с помощью элементарных логических функций (полный логический базис)AND, OR, NO, приводить их к удобному для дальнейшего использования виду и упрощать запись.
1. Свойства констант.
a · 0 = 0 a + 0 = а
a · 1 = а a + 1 = 1
Доказательство из таблиц истинности элементарных функций:
0 and 0 = 0; 0 and 0 = 0; 0 or 0 = 0; 1 or 0 = 1
0 and 1 = 0; 1 and 1 = 1; 0 or 1 = 1; 1 or 1 = 1
2. Инволютивность отрицаний.
a'' = а
3. Комплементарность.
a · a' = 0; a + a' = 1
Доказательство: 0 and 1 = 0; 1 and 0 = 0; 0 or 1 = 1; 1 or 0 = 1
4. Идемпотентный закон.
a · a = а а + а = а
Доказательство: 0 and 0 = 0; 1 and 1 = 1 0 or 0 = 0; 1 or 1 = 1
5. Переместительный закон (коммутативность
а + в = в + а а · в = в · а
От перемены мест слагаемых или множителей результат не меняется.
6. Сочетательный закон (ассоциативность).
(а + в) + с = а + (в + с); (а · в) ·с = а· (в · с)
Если над аргументами функции выполняются однотипные логические действия, то их можно
произвольно группировать, изменяя последовательность действий.
7. Закон Блейка - Порецкого.
а + (a` · в) = а + в а· (a` + в) = а · в
8. Закон поглощения.
а + а·в = а· (1 + в) = а а· (a + в) = а + ав = а
Вынесем общий множитель a. Зная, что 1 + в = 1, получим: а · 1 = а
9. Распределительный закон (дистрибутивность).
а(в + с) = ав + ас; а + вс = (а + в)(а + с)
10. Закон склеивания.
ав + ав' = а; (а + в)(а + в') = а
Если один из аргументов изменяется при неизменном результате (функции),
то этот аргумент можно исключить из выражения. Это один из самых важных законов,
часто используемых для минимизации логических функций
11. Правило де Mоргана.
Это правило преобразования одного логического действия в другое (AND в OR и, наоборот, OR в AND).
Для этого необходимо изменить логическое действие и инвертировать все аргументы и все выражение в целом.
а + в + с + .... + z = ( а'в'с'...z' )'
авс... = ( а' + в' + с' + ... + z' )'
