Зададим две плоскости
Мы знаем, что векторы и перпендикулярны соответственно данным плоскостям, поэтому угол между и равен углу (двугранному) между данными плоскостями. Но скалярное произведение
,
поэтому
. (15)
Достаточно считать, что .
Отметим, что две пересекающиеся плоскости на самом деле образуют два двугранных угла и Их сумма равна , а их косинусы равны по абсолютной величине, но отличаются знаками (). Если заменить в первом уравнении (14) числа , , соответственно на числа , , , то полученное уравнение будет определять ту же плоскость, но угол в (15) заменится на .
Две плоскости (14) перпендикулярны тогда и только тогда, когда, т. е.
. (16)
Две плоскости (14) параллельны тогда и только тогда, когда (перпендикулярные к ним) векторы и коллинеарны, т. е. выполняются условия пропорциональности
. (17)
Если дополнительно к этому выполняются расширенные условия пропорциональности
, (18)
то это говорит о том, что плоскости (14) совпадают, т.е. оба уравнения (14) определяют одну и ту же плоскость. Хотя на нуль делить нельзя, но удобно писать символические пропорции (17) или (18) с нулями. Но тогда, если, например, , то надо и . Или если , то .