Преобразование координат на плоскости при переходе от одной декартовой с.к. в другую.

Переход от одной системы координат в какую-либо другую называется преобразованием системы координат.

Рассмотрим два случая преобразования одной прямоугольной системы координат в другую. Полученные формулы устанавливают зависимость между координатами произвольной точки плоскости в разных системах координат.

Параллельный перенос осей координат

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Оху. Под параллельным переносом осей координат понимают переход от систе­мы координат Оху к новой системе О1х1у1, при котором меняется поло­жение начала координат, а направление осей и масштаб остаются неиз­менными.

Пусть начало новой системы координат точка О1 имеет координаты (х0;y0) в старой системе координат Оху, т. е. О1 (х0;y0). Обозначим координаты произвольной точки Μ плоскости в системе Оху через (х;у), а в новой системе O1x1y1 через (х';у') (см. рис. 28).

Рассмотрим векторы

Следовательно,

Полученные формулы позволяют находить старые координаты x и у по известным новым х' и у' и наоборот.

Поворот осей координат

Под поворотом осей координат понимают такое преобразование координат, при котором обе оси поворачиваются на один и тот же угол, а начало координат и масштаб остаются неизменными.

Пусть новая система O1x1y1 получена поворотом системы Оху на угол α.

Пусть   Μ  произвольная   точка   плоскости, (х;у) — ее координаты в старой системе и (х';у') — в новой системе.

Введем две полярные системы координат с общим полюсом О и полярными осями Ох и Οx1 (масштаб одинаков). Полярный радиус r в обеих системах одинаков, а полярные углы соответственно равны α + j и φ, где φ — полярный угол в новой полярной системе.

По формулам перехода от полярных координат к прямоугольным имеем

Но rcosj = х' и rsinφ = у'. Поэтому

Полученные формулы называются формулами поворота осей. Они позволяют определять старые координаты (х; у) произвольной точки Μ через новые координаты (х';у') этой же точки М, и наоборот.

Если новая система координат O1x1y1 получена из старой Оху путем параллельного переноса осей координат и последующим поворотом осей на угол α (см. рис. 30), то путем введения вспомогательной системы легко получить формулы

выражающие старые координаты х и у произвольной точки через ее новые координаты х' и у'.