КИНЕМАТИКА

Механика есть наука о движении и равновесии тел [11, 12, 14]. Под движением в механике понимается только простейшая форма его, а именно перемещение тела относительно других тел и частей тела (деформация).

Принципы механики впервые сформулировал Ньютон в своем основном сочинении «Математические начала натуральной философии» (1687). Механика Ньютона основывается на экспериментальных фактах (Архимед, И. Кеплер, Г. Галилей, X. Гюйгенс и др.). Механика Ньютона относится к движению обычных (макроскопических) тел с малыми скоростями. Макроскопическими называют окружающие нас тела, состоящие из громадного количества молекул или атомов. Под медленными, или нерелятивистскими движениями понимают движения, скорости которых малы по сравнению со скоростью света в вакууме (С = 300000 км/с). В этом смысле движение спутников и ракет (8 км/с) является очень медленным, т. е. нерелятивистским. Механику Ньютона часто называют классической.

Механика, применимая к быстрым движениям, близким к скоростям света, называется релятивистской механикой, или механикой теории относительности.

Механика, описывающая явления микромира, называется квантовой механикой. Квантовая механика, например, описывает движение электронов в атоме.

Классическую механику условно можно разделить на кинематику, динамику и статику.

Кинематика занимается описанием движения тел, отвлекаясь от его причин.

Простейшим объектом, движение которого изучает классическая механика, является материальная точка. Материальной точкой будем считать материальное тело, размеры которого так малы, что в рассматриваемом движении их можно не принимать во внимание и считать, что все вещество тела как бы сосредоточено в одной геометрической точке. Абсолютные размеры тела при этом не играют роли. Важны относительные размеры, т. е. отношения размеров тела к некоторым расстояниям, характерным для рассматриваемого движения. Например, Землю при рассмотрении ее орбитального движения вокруг Солнца с большой точностью можно принять за материальную точку.

Положение движущегося тела можно определить лишь по отношению к другому произвольно выбранному телу, называемому телом отсчета.Это тело считаем неподвижным. Связывая с этим телом произвольную систему координат, получим систему отсчета положений материальной точки.

Описание движения зависит от выбора системы отсчета. Например, пассажир, неподвижно стоящий в купе движущегося вагона, по отношению к стенам купе находится в состоянии покоя, а по отношению к платформе, вокзалу он движется со скоростью поезда. Если пассажир идет вдоль коридора, когда вагон делает поворот, то по отношению к стенам коридора его путь прямолинейный, а по отношению к придорожной лесополосе – криволинейный.

оложение материальной точки в пространстве задают радиус-вектором , проведенным из начала системы координат в данную точку.

Рис. 1.1. Радиус-вектор точки М

Из рис. 1.1 следует, что

, (1.1)

где , , – координаты данной точки М.

По известным координатам данной точки М можно определить ее радиус-вектор .

Модуль вектора

. (1.2)

Углы , , , образованные с осями координат: ; ; .

Если известен радиус-вектор точки, то ее координаты определяются из тех же соотношений.

При переходе от одной системы отсчета к другой радиус-вектор точки и ее координаты изменяются. Функция = (t), показывающая зависимость радиус-вектора или координат точки х = х (t), у = y(t) и z = z(t) от времени, называется уравнением движения.

Линия (x, y, z) = 0, описываемая материальной точкой при движении, называется траекторией движения.

Длина пути (путь) S – расстояние, пройденное материальной точкой вдоль траектории за время ∆t (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Траектория, путь и вектор перемещения точки

Вектор перемещения – вектор, проведенный из начального в конечное положение точки на траектории движения. Из рис. 1.2 видно, что

Таким образом, траектория и перемещение не одно и то же. Например, когда траектория замкнутая, то перемещение равно нулю, а траектория не равна нулю.

Движения по виду траектории разделяются на прямолинейные и криволинейные.

Средняя и мгновенная (истинная) скорости – кинематические характеристики, показывающие быстроту движения.

Средняя скорость – это вектор.

Модуль равен отношению вектора перемещения ∆r к интервалу времени ∆t, за которое оно произошло

. (1.3)

Рис. 1.3. Средняя и мгновенная скорости материальной точки

Направление вектора совпадает с вектором перемещения (рис. 1.3). При уменьшении ∆t, т. е. при сближении точек 1 и 2 средняя скорость стремится к значению мгновенной скорости в данной точке траектории:

. (1.4)

Следовательно, мгновенная скорость есть первая производная вектора перемещения по времени.

Вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории в каждой ее точке. Из выражений (1.1) и (1.4) следует, что проекции вектора скорости на оси координат

, , ,

тогда

. (1.5)

Среднее и мгновенное (истинное) ускорения – кинематические характеристики, показывающие быстроту изменения скорости.

Среднее ускорение – это вектор. Модуль равен отношению изменения скорости интервалу времени ∆t, за которое оно произошло:

. (1.6)

Направление вектора совпадает с направлением вектора изменения скорости (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Среднее ускорение материальной точки

При сближении точек 1 и 2 среднее ускорение стремится к значению мгновенного (истинного) ускорения в данной точке траектории

(1.7)

Следовательно, мгновенное ускорение есть первая производная вектора скорости по времени или вторая производная вектора перемещения по времени.

Используя формулы (1.1) и (1.5), получим

. (1.8)

Удобно использовать компоненты вектора ускорения относительно системы координат, связанной с движущейся точкой и задаваемой единичными векторами и (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Тангенциальное, нормальное и полное ускорение точки

Вектор задает направление касательной к траектории в данной точке. Вектор направлен по радиусу кривизны траектории. Компоненты вектора ускорения на эти оси называют тангенциальным и нормальным ускорениями.

Тогда

. (1.9)

Тангенциальное ускорение характеризует быстроту изменения по величине

Нормальное ускорение характеризует быстроту изменения скорости по направлению

где – радиус кривизны траектории.

Поскольку три величины формулы (1.1), характеризующие положение точки М в пространстве, взаимно независимы, говорят, что материальная точка обладает тремя степенями свободы.

Но если материальная точка может перемещаться только вдоль одной оси координат, то она обладает одной степенью свободы. Если тело перемещается в пространстве и одновременно вращается вокруг оси, проходящей через тело, то оно обладает четырьмя степенями свободы; если же вращается вокруг двух взаимно-перпендикулярных осей – пятью степенями свободы.

Если же система достаточно сложная и, например, состоит из N материальных точек, то для описания их мгновенного положения надо задать 3Nкоординат. Но обычно ряд точек ограничен по свободе перемещений и для описания нужно меньшее число f координат (f < 3N). Любые / величины, заданием которых положение материальных точек системы определяется однозначно, называются обобщенными координатами.

Число степеней свободы системы равно числу обобщенных координат, полностью определяющих положение механической системы. Число степеней свободы абсолютно твердого тела равно шести.

Абсолютно твердым телом называется тело, расстояние между двумя любыми точками которого остается постоянным при любых взаимодействиях.

Любое движение абсолютно твердого тела можно разложить на два простейших вида: поступательное и вращательное.

Поступательным называется движение, при котором прямая, соединяющая две произвольные точки этого тела, перемещается параллельно самой себе. При поступательном движении скорости и ускорения всех точек тела одинаковы. Поэтому для описания поступательного движения абсолютно твердого тела достаточно задать уравнение движения одной его точки.

Вращательным называется движение, при котором все точки тела движутся по окружности, центры которых лежат на одной прямой, а плоскости окружностей перпендикулярны этой прямой, называемой осью вращения.

Для описания вращающегося движения вводятся угловые кинематические характеристики: угловой путь, угловое перемещение, угловая скорость и угловое ускорение.

Угловой путь – скалярная величина, равная углу, на который перевернется радиус-вектор данной точки за время dt.

Угловое перемещение – вектор, численно равный угловому пути и направлен по оси вращения так, чтобы наблюдатель, смотрящий из его конца, видел вращение против часовой стрелки (рис. 1.6).

Рис. 1.6. Угловое перемещение и угловая скорость точки М:

F – радиус-вектор, проведенный в точку М из неподвижной точки О;

О – начало координат неподвижной системы отсчета;

R – расстояние от точки М до мгновенной оси вращения

Угловая скорость – вектор, показывающий быстроту изменения угла поворота

Направление вектора совпадает с направлением вектора углового перемещения .

Угловое ускорение – вектор, показывающий быстроту изменения угловой скорости:

Направление вектора совпадает с вектором изменения угловой скорости , т. е. совпадает с , если угловая скорость увеличивается, и направлен против , если угловая скорость уменьшается.

Рис. 1.7. Связь линейных и угловых кинематических величин

Связь линейных и кинематических характеристик (рис. 1.7) следующая:

; ;

;

; ; ;

; .

Например, в случае: 1) прямолинейного равномерного движения скорость численно равна пути, пройденному за единицу времени

;

путь при равномерном движении

2) равнопеременного движения скорость путь , где – начальная скорость; t – время; – ускорение. Плюс относится к равноускоренному движению, минус – равнозамедленному.

Внимание! Скорость является первой производной от пути по времени, а ускорение – второй:

;

3) движения по окружности угловая скорость и угловой путь соответственно

;

где – начальная угловая скорость; – угловое ускорение, характеризующее быстроту изменения угловой скорости; t – время.

Рис. 1.8. Взаимное расположение векторов , и :
– радиус-вектор, – вектор линейной скорости,

с которой движется тело по окружности

в направлении, указанном стрелками

Для удобства вычислений и возможности использования векторной алгебры в механике вводят вектор угловой скорости
(рис. 1.8). Это не настоящий вектор, а так называемый псевдовектор (его часто называют акспальным вектором). Вектор угловой скорости направлен вдоль оси, вокруг которой вращается тело, в сторону, определяемую правилом правого винта, т. е. поворот совершается по часовой стрелке (если смотреть вдоль вектора ). Тогда формула для может быть записана в векторной форме – через векторное произведение векторов и :

;