пользователей: 21244
предметов: 10456
вопросов: 177505
Конспект-online
зарегистрируйся или войди через vk.com чтобы оставить конспект.
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ


Норма оператора

Def: Нормой линейного оператора AÎL(VV) называется число ||A|| определяемое равенством ||A|| = image436.png.

Из определения нормы линейного оператора возникает очевидное и очень полезное неравенство ||A|| £ ||A||×||Х|| .

Т°. Для эрмитового оператора А: ||A|| = image437.png.

◀ Обозначим m =image437.png.

1) Вспомним неравенство Коши-Буняковского (ХУ)2£ (ХХ)(УУ) запишем |(Х,У)|£ ||X||×||Y|| Þ

Þ |(X)| £ ||Ax||×||X|| £ ||Ax||×||X||×||X|| = ||A||×||X||2, т. е. |(X)| £ ||A||×||X||2 и пусть ||X|| = 1.

|(X)| £ ||A||

Т. е. m £ ||A|| (*)

2) Отметим: |(AzZ)| £ |(Az/||Z||, z/||Z||)| × ||Z||2 £ ||Z||2 × sup|(Az/||Z||, z/||Z||)|,

Т. е. |(AzZ)| £ m||Z||2 и теперь рассмотрим разность:

(A(Х + У), Х + У) – (А(Х – У), Х – У) = (АхХ) + (АхУ) + (АуХ) + (АуУ) – (АхХ) + (АхУ) + (АуХ) – (АуУ) = 2(АхУ) + 2(АуХ) = 2((АхУ) + (УАх)) = 2((Ах, у) + (image438.png)) = 4Re(АхУ), т. е. 4Re(АхУ) = (A(X + Y), X + Y) – (А(Х– У), Х – У).

Тогда:

4|Re(АхУ)| = |(A(X + Y), X + Y) – (А(Х – У), Х – У)| £ |(A(X + Y), X + Y)| + |(А(Х– У), Х– У)| £

£ m((XYX + Y) + (Х– УХ– У)) = m((XX) + (YY)+ (ХУ)+ (YX) + (XX) +(YY) – (XY) – (YX)) =

= 2m((XX) + (YY)) = 2m (||X||2 + ||Y||2). Отсюда, при ||X|| = ||Y|| = 1

4|Re(АхУ)| £ 4m Þ| Re(АхУ)| £ m.

Положим теперь image439.png (очевидно ||Y|| = 1):

image440.png.

Тогда image441.png, т. е. ||А|| £ m.

В 1) и 2) доказано, что ||А|| ³ m и ||А|| £ m, т. е. ||А|| = m = image442.png ▶


21.01.2014; 15:27
хиты: 46
рейтинг:0
Точные науки
математика
функциональный анализ
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2016. All Rights Reserved. помощь