Всюду плотные, нигде не плотные, совершенные множества

Пло́тное мно́жество — подмножество, точками которого можно приблизить любую точку объемлющего пространства.

Определения

Пусть даны топологическое пространство $(X,\mathcal{T})$ и два подмножества $A,B\subset X.$ Тогдамножество $A$ называется плотным во множестве $B,$ если любая окрестность любой точки $B$ содержит хотя бы одну точку из $A$ , то есть $\forall x \in B \; \forall U\in \mathcal{T}\quad \bigl(x \in U\bigr) \Rightarrow \bigl(U \cap A \neq \emptyset\bigr).$
Множество $A$ называется всюду плотным, если оно плотно в $X.$

Замечание

Приведённое выше определение плотности множества эквивалентно любому из нижеперечисленных:

Множество $A$ плотно в $B$ тогда и только тогда, когда замыкание $A$ содержит $B,$ то есть $\bar{A} \supset B.$ В частности, $A$ всюду плотно, если $\bar{A} = X.$
Множество $A$ плотно в $B$ тогда и только тогда, когда внутренность дополнения к $A$ непересекается с $B,$ то есть $\left(A^{\complement}\right)^0 \cap B = \emptyset.$ В частности, $A$ всюду плотно, если $\left(A^{\complement}\right)^0 = \emptyset.$

Примеры

Множество плотно в себе, если в любой окрестности каждой точки х этого множества содержится хотя бы одна точка множества, отличная от х
Множество рациональных чисел $\mathbb{Q}$ плотно в пространстве вещественных чисел $\mathbb{R}.$

Множество A называется нигде не плотным, если для любых различных точек a и b найдется отрезок [c, d] М [a, b], не пересекающийся с A. Например, множество точек последовательности a_n = [ 1/(n)] является нигде не плотным, а множество рациональных чисел – нет.

Теорема Бэра. Отрезок нельзя представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.

Доказательство. Предположим, что существует последовательность A_k нигде не плотных множеств, таких что И_i A_i = [a, b]. Построим следующую последовательность отрезков. Пусть I₁ – какой-нибудь отрезок, вложенный в [a, b] и не пересекающийся с A₁. По определению нигде не плотного множества на отрезке I₁ найдется отрезок, не пересекающийся с множеством A₂. Назовем его I₂. Далее, на отрезке I₂возьмем аналогичным образом отрезок I₃, не пересекающийся с A₃, и т. д. У последовательности I_k вложенных отрезков есть общая точка (это одно из основных свойств действительных чисел). Эта точка по построению не лежит ни в одном из множеств A_k, значит, эти множества не покрывают весь отрезок [a, b].

Совершенное множество — замкнутое множество, не имеющее изолированных точек, то есть совпадающее с множеством всех своих предельных точек.

Примеры

Классическим примером нигде не плотного, совершенного множества является Канторово множество.

Свойства

Всякое непустое совершенное множество евклидова пространства имеет мощность континуума.
Множество точек конденсации любого множества является совершенным.
- Теорема Кантора — Бендиксона. Всякое множество вещественных чисел есть объединение совершенного множества своих точек конденсации и счётного множества.
  - Эта теорема обобщена на случай подмножеств метрического пространства со счётной базой