Определение метрического пространства (МП). Примеры МП

В математике метри́ческим простра́нством называется множество, в котором определено расстояние между любой парой элементов.

Формальное определение

Метрическое пространство M есть множество точек с функцией расстояния (также называется метрикой) $d:M\times M\to \mathbb{R}$ (где $\mathbb{R}$ обозначает множество вещественных чисел). Для любых точек x,y, z из M эта функция должна удовлетворять следующим условиям:

d(x, y) ≥ 0
d(x, y) = 0 $\Leftrightarrow$ x = y.
d(x, y) = d(y, x) (симметрия)
d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (неравенство треугольника).

Эти аксиомы отражают интуитивное понятие расстояния. Например, расстояние должно быть неотрицательно и расстояние от x до y такое же, как и от y до x. Неравенство треугольника означает, что пройти от x до z можно короче, или хотя бы не длиннее, чем сначала пройти x до y, а потом от y до z.

Примеры

Дискретная метрика: d(x,y) = 0, если x=y, и d(x,y) = 1 во всех остальных случаях.

Вещественные числа с функцией расстояния d(x, y) = |y — x| и евклидово пространство являются полными метрическими пространствами.

Манхеттенская, или городская метрика: координатная плоскость, на которой расстояние определено как сумма расстояний между координатами. Более общий пример: любоенормированное пространство можно превратить в метрическое, определив функцию расстоянияd(x, y) = ||y — x||, в случае конечной размерности это называется пространством Минковского^[1] (не надо путать с другим пространством Минковского).

Так называемая Французская железнодорожная метрика является примером, который нередко приводят в качестве примера метрики, не порожденной нормой.

Любое связное риманово многообразие M можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как точную нижнюю грань длин путей, соединяющих пару точек.

Множество вершин любого связного графа G можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как минимальное число рёбер в пути, соединяющем вершины.

Множество компактных подмножеств K(M) любого метрического пространства M можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемойметрики Хаусдорффа. В этой метрике два подмножества близки друг к другу, если для любой точки одного множества можно найти близкую точку в другом подмножестве. Вот точное определение:

D(X, Y) = inf{r : для всех x в X существует y в Y с d(x, y) < r и для любого y в Y существует x в Xтакое, что d(x, y) < r)}.

Множество всех компактных метрических пространств (с точностью до изометрии) можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемойметрики Громова — Хаусдорффа

Связанные определения

Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность сходится к некоторому элементу этого пространства.
Метрика d на M называется внутренней, если любые две точки x и y в M можно соединить кривой с длиной, произвольно близкой к d(x, y).
Любое метрическое пространство обладает естественной топологией, базой для которой служит множество открытых шаров, т.е. множеств следующего типа:

B(x; r) = {y в M : d(x,y) < r},

где x есть точка в M и r — положительное вещественное число, называемое радиусом шара. Иначе говоря, множество $O$ является открытым, если для любой точки $x\in O$ найдётся положительное число $r$ , такое, что множество точек на расстоянии меньше $r$ от $x$ принадлежит $O$ .

Две метрики, определяющие одну и ту же топологию, называются эквивалентными.
Топологическое пространство, которое может быть получено таким образом, называетсяметризируемым.
Расстояние d(x,S) от точки x до подмножества S в M определяется по формуле:

d(x,S) = inf{d(x,s) : s ∈ S}

Тогда d(x, S) = 0, только если x принадлежит замыканию S.

Иногда рассматривают метрики со значениями [0,∞]. Для любой такой метрики можно рассмотреть конечную метрику d'(x, y) = d(x, y) / (1 + d(x, y)) или d''(x, y) = min(1, d(x, y))). Эти метрические пространства имеют одну и ту же топологию.

Свойства

Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда из любой последовательности точек можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.
Метрическое пространство может не иметь счётной базы, но всегда удовлетворяет первой аксиоме счётности — имеет счётную базу в каждой точке.
- Сверх того, в каждом метрическом пространстве существует такая база, что каждая точка пространства принадлежит лишь счётному множеству её элементов — точечно-счётная база (но это свойство слабее метризуемости даже в присутствии паракомпактности ихаусдорфовости).
- Более того, каждый компакт в метрическом пространстве имеет счётную базу окрестностей.

Вариации и обобщения

Для данного множества $M$ , функция $d:M\times M\to \mathbb{R}$ называется псевдометрикой на $M$ если для любых точек x, y, z из M она удовлетворяет следующим условиям:

d(x, y) ≥ 0.
d(x, x) = 0 .
d(x, y) = d(y, x) (симметрия)
d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (неравенство треугольника).

То есть, в отличии от метрики, различные точки в $M$ могут находится на нулевом расстоянии. Псевдометрика естественно определяет метрику на факторпространстве $M/\sim$ где $x\sim y \Leftrightarrow d(x,y)=0$ .

Метрика на пространстве называется ультраметрикой, если она удовлетворяет сильному неравенству треугольника:

Для всех x, y и z в M, d(x, z) ≤ max(d(x, y), d(y, z)).