Мощность множества

Мощность множества — это обобщение понятия количества (числа элементов множества), которое имеет смысл для всех множеств, включая бесконечные. Существуют бо́льшие, есть ме́ньшие бесконечные множества, среди них счётное множество является самым маленьким.

Мощность множества, как и другие основные конструкции традиционной теоретико-множественной математики, может достаточно плодотворно рассматриваться и под углом зрения, отличным от широко известной интуиционистской критики в рамках альтернативной теории множеств.

Определение

Пусть даны два множества $A$ и $B.$ Тогда они называются равномощными, если между нимисуществует биекция $f:A \leftrightarrow B$ . Из свойств биекции следует, что равномощность является отношением эквивалентности. Мощностью или кардинальным числом множества $A$ называется соответствующий ему класс эквивалентности. Мощность множества обозначается

Связанные определения

Множество $A$ называется конечным, если оно равномощно множеству $\{1,\ldots,n\}$ для некоторого $n\in \mathbb{N}.$ Мощность такого множества идентифицируют с количеством его элементов: $|A| = n.$ Таким образом по определению два конечных множества равномощны тогда и только тогда, когда они имеют одно и то же количество элементов.
Множество $A$ называется бесконечным, если оно не является конечным.
Множество $A$ называется счётным, если оно равномощно множеству натуральных чисел $N$ . Мощность счётного множества обозначается $\aleph_0.$
Множество $A$ называется не более чем счётным, если оно конечно или счётно.
Множество $A$ называется несчётным, если оно бесконечно и не является счётным.

Свойства

Если $A$ конечно, и $2^A$ - его булеан, то
$\left| 2^A \right| = 2^{|A|}.$
Множество является бесконечным тогда и только тогда, когда оно содержит подмножестворавномощное себе.
В предположении выполненности аксиомы выбора любое бесконечное множество содержит счётное подмножество.
Декартово произведение бесконечного множества $A$ с самим собой равномощно $A.$