п.1. Отображение множеств.
Определение. Пусть А и В – произвольные множества. Отображением множества А в множество В называют правило (соответствие), которое каждому элементу множества А ставит в соответствие единственный для этого элемента элемент множества В.
Обозначение. . Здесь, – имя (наименование) отображения. Если – элемент множества А, то элемент множества В, который ставится ему в соответствие при этом отображении обозначают и пишут . Элемент называют значением отображения "в точке а" или образом элемента а. При этом сам элемент а называют прообразом элемента .
Замечание. Слова отображение и функция являются синонимами, при этом множество А называют областью определения функции (отображения) и обозначают , а множество значений обозначают и называют образом отображения . является подмножеством множества В: .
2. Декартово (прямое) произведение множеств.
Определение. Пусть – элементы каких-то множеств (не обязательно одного множества). Две пары элементов и будем называть равными и писать , если и .
Такие пары называют упорядоченными парами, т.е. пару элементов называют упорядоченной парой, если при .
Определение. Декартовым (прямым) произведением множества А на множество В называют множество всех упорядоченных пар , где первый элемент пары является элементом множества А, а второй – множества В и обозначается .
Иначе, . Здесь знак означает равенство по определению.
Пример. Пусть – множество первых восьми букв латинского алфавита. – множество первых восьми натуральных чисел. Тогда декартово произведение множества А на множество В есть множество . Для удобства записи все элементы этого множества можно записывать проще: и мы получаем обозначение всех 64 клеток шахматной доски.