6.1. Момент импульса частицы. Момент силы
Анализ поведения систем показывает, что кроме энергии и импульса существует еще одна механическая величина, с которой также связан закон сохранения,-это так называемый момент импульса. Используют также названия момент количества движения, вращательный момент, угловой момент, или просто момент.
Что это за величина и каковы ее свойства?
Сначала возьмем одну частицу. Пусть 
- радиус-вектор, характеризующий ее положение относительно некоторой точки O выбранной системы отсчета, а 
- ее импульс в этой системе. Моментом импульса частицы А относительно точки O (рис. 6.1) называют вектор 
, равный векторному произведению векторов 
и 
:
- радиус-вектор, характеризующий ее положение относительно некоторой точки O выбранной системы отсчета, а - ее импульс в этой системе. Моментом импульса частицы А относительно точки O (рис. 6.1) называют вектор , равный векторному произведению векторов и : |
(6.1) |
 |
|
Рис. 6.1.
Определение вектора момента импульса |
Из этого определения следует, что 
является аксиальным вектором. Его направление выбрано так, что вращение вокруг точки O в направлении вектора 
образуют правовинтовую систему. Модуль вектора 
равен
является аксиальным вектором. Его направление выбрано так, что вращение вокруг точки O в направлении вектора образуют правовинтовую систему. Модуль вектора равен , |
(6.2) |
где 
- угол между векторами 
и 
плечо вектора 
относительно точки О (рис. 6.1).
- угол между векторами и плечо вектора относительно точки О (рис. 6.1). Выведем уравнение, описывающее изменение во времени вектора 
. Его называют уравнением моментов. Для вывода необходимо выяснить - какая механическая величина ответственна за изменение вектора 
в данной
. Его называют уравнением моментов. Для вывода необходимо выяснить - какая механическая величина ответственна за изменение вектора в данной системе отсчета. Продифференцируем уравнение (6.1) по времени:
Так как точка O неподвижна, то вектор 
равен скорости 
частицы, т. е. совпадает по направлению с вектоpом 
, поэтому
равен скорости частицы, т. е. совпадает по направлению с вектоpом , поэтому
Используя второй закон Ньютона, получим 
где 
равнодействующая всех сил, приложенных к частице. Следовательно,
где равнодействующая всех сил, приложенных к частице. Следовательно,
Величину, стоящую в правой части этого уравнения, называют моментом силы
относительно точки О (рис. 6.2). Обозначив ее буквой 
, запишем
относительно точки О (рис. 6.2). Обозначив ее буквой , запишем
 |
|
Рис. 6.2.
Определение вектора момента cилы |
как и 
, является аксиальным. Модуль этого вектора, аналогично  |
(6.4) |
где 
плечо вектора 
относительно точки O (рис. 6.2). Итак, производная по времени от момента импульса 
частицы относительно некоторой точки O выбранной системы отсчета равна моменту равнодействующей силы относительно той же точки O:
плечо вектора относительно точки O (рис. 6.2). Итак, производная по времени от момента импульса частицы относительно некоторой точки O выбранной системы отсчета равна моменту равнодействующей силы относительно той же точки O: |
(6.5) |
Это уравнение называют уравнением моментов. Заметим, что если система отсчета является неинерциальной, то момент силы 
включает в себя как момент сил взаимодействия, так и момент сил инерции относительно той же точки O.
включает в себя как момент сил взаимодействия, так и момент сил инерции относительно той же точки O. Из уравнения моментов (6.5), в частности, следует, что если 
то 
. Другими словами, если относительно некоторой точки O выбранной системы отсчета момент всех сил, действующих на частицу, равен нулю в течение интересующего нас промежутка времени, то относительно этой точки момент импульса частицы остается постоянным в течение этого времени.
то . Другими словами, если относительно некоторой точки O выбранной системы отсчета момент всех сил, действующих на частицу, равен нулю в течение интересующего нас промежутка времени, то относительно этой точки момент импульса частицы остается постоянным в течение этого времени. Пример 1. Некоторая планета А движется и поле тяготения Солнца С (рис. 6.3). Относительно какой точки гелиоцснтричсской системы отсчета момент импульса данной планеты будет сохраняться во времени?
Для ответа на этот вопрос, прежде всего, необходимо установить, какие силы действуют на планету А. В данном случае это только сила тяготения
со стороны Солнца. Так как при движении планеты направление этой силы
со стороны Солнца. Так как при движении планеты направление этой силы .
 |
|
Рис. 6.3.
Движение планеты в поле тяготения Солнца |
все время проходит через центр Солнца, то последний и является той точкой, относительно которой момент силы все время равен нулю и момент импульса планеты будет оставаться постоянным. Импульс же 
планеты при этом будет меняться.
планеты при этом будет меняться. Пример 2. Шайба А, двигаясь по гладкой горизонтальной плоскости, упруго отскакивает от гладкой вертикальной стенки (рис.6.4, вид сверху). Найти точку, относительно которой момент импульса шайбы будет оставаться постоянным в этом процессе.
 |
|
Рис. 6.4.
Определение моментов при упругом ударе |
На шайбу действуют сила тяжести, сила реакции со стороны горизонтальной плоскости, сила реакции 
со стороны стенки в момент удара о нее. Первые две силы уравновешивают друг друга, остается сила 
. Ее момент равен нулю относительно любой точки, лежащей на линии действия вектора 
, а значит, относительно любой из этих точек момент импульса шайбы будет оставаться постоянным в данном процессе.
со стороны стенки в момент удара о нее. Первые две силы уравновешивают друг друга, остается сила . Ее момент равен нулю относительно любой точки, лежащей на линии действия вектора , а значит, относительно любой из этих точек момент импульса шайбы будет оставаться постоянным в данном процессе. Пример 3. На горизонтальной гладкой плоскости находятся неподвижный вертикальный цилиндр и шайба А, соединенная с цилиндром нитью АВ (рис. 6.5, вид сверху). Шайбе сообщили начальную скорость 
, как показано на этом рисунке. Есть ли здесь точка, относительно которой момент импульса шайбы будет оставаться постоянным в процессе движения?
, как показано на этом рисунке. Есть ли здесь точка, относительно которой момент импульса шайбы будет оставаться постоянным в процессе движения?
 |
|
Рис. 6.5.
Определение точки постоянного момента при движении |
В данном случае единственная некомпенсированная сила, действующая на шайбу А, - это сила натяжения 
со стороны нити. Нетрудно видеть, что точки, относительно которой момент силы 
в процессе движения был бы все время равен нулю, здесь нет. А следовательно, нет и точки, относительно которой момент импульса шайбы оставался бы постоянным. Этот пример показывает, что не всегда существует точка, относительно которой момент импульса частицы оставался бы постоянным.
со стороны нити. Нетрудно видеть, что точки, относительно которой момент силы в процессе движения был бы все время равен нулю, здесь нет. А следовательно, нет и точки, относительно которой момент импульса шайбы оставался бы постоянным. Этот пример показывает, что не всегда существует точка, относительно которой момент импульса частицы оставался бы постоянным. Уравнение моментов (6.5) позволяет получить ответ на два вопроса:
1) найти момент силы 
относительно интересующей нас точки O в любой момент времени t, если известна зависимость от времени момента импульса 
частицы относительно той же точки;
относительно интересующей нас точки O в любой момент времени t, если известна зависимость от времени момента импульса частицы относительно той же точки; 2) определить приращение момента импульса частицы относительно точки O за любой промежуток времени, если известна зависимость от времени момента силы 
, действующего на эту частицу относительно той же точки O.
, действующего на эту частицу относительно той же точки O. Решение первого вопроса сводится к нахождению производной по времени от момента импульса, т. е. 
, которая и равна, согласно (6.5), искомому моменту силы 
.
, которая и равна, согласно (6.5), искомому моменту силы . Решение же второго вопроса сводится к интегрированию уравнения (6.5). Умножив обе части этого уравнения на dt, получим 
- выражение, которое определяет элементарное приращение вектора 
. Проинтегрировав это выражение по времени, найдем приращение вектора 
за конечный промежуток времени t:
- выражение, которое определяет элементарное приращение вектора . Проинтегрировав это выражение по времени, найдем приращение вектора за конечный промежуток времени t: |
(6.6) |
Величину, стоящую в правой части этого уравнения, называют импульсом момента силы. В итоге получено следующее утверждение: приращение момента импульса частицы за любой промежуток времени равно импульсу момента силы за это же время. Рассмотрим два примера.
Пример 1. Момент импульса частицы относительно некоторой точки меняется со временем t по закону 
где 
и 
некоторые постоянные взаимно перпендикулярные векторы. Найти момент силы 
, действующий на частицу, когда угол между векторами 
и 
окажется равным 45°.
где и некоторые постоянные взаимно перпендикулярные векторы. Найти момент силы , действующий на частицу, когда угол между векторами и окажется равным 45°. Согласно (6.5), 
т.е. вектор 
, все время совпадает по направлению с вектором 
. Изобразим векторы 
и 
некоторый момент t (рис. 6.6). Из этого рисунка видно, что угол 
=45° в момент 
, когда Отсюда 
и 
.
т.е. вектор , все время совпадает по направлению с вектором . Изобразим векторы и некоторый момент t (рис. 6.6). Из этого рисунка видно, что угол =45° в момент , когда Отсюда и .
 |
|
Рис. 6.6.
Определение момента силы по заданному закону изменения импульса частицы |
Пример 2. Камень А массы т бросили под углом к горизонту с начальной скоростью 
. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти зависимость от времени момента импульса камня 
относительно точки бросания О (рис. 6.7).
. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти зависимость от времени момента импульса камня относительно точки бросания О (рис. 6.7). За промежуток времени dt момент импульса камня относительно точки
 |
|
Рис. 6.7.
Определение момента импульса частицы в поле тяжести Земли. |
О получит приращение 
. Так как 
то 
Проинтегрировав это выражение с учетом того, что в момент 
получим 
. Отсюда видно, что направление вектора
остается неизменным в процессе движения (вектор 
направлен за плоскость, рис. 6.7.
. Так как то Проинтегрировав это выражение с учетом того, что в момент получим . Отсюда видно, что направление вектора остается неизменным в процессе движения (вектор направлен за плоскость, рис. 6.7. Рассмотрим теперь понятия момента импульса и момента силы относительно оси. Выберем в некоторой инерциальной системе отсчета произвольную неподвижную ось 
. Пусть относительно некоторой точки О на оси 
момент импульса частицы А равен 
, а момент силы, действующий на частицу, 
.
. Пусть относительно некоторой точки О на оси момент импульса частицы А равен , а момент силы, действующий на частицу, . Моментом импульса относительно оси z называют проекцию на эту ось вектора 
, определенного относительно произвольной точки О данной оси (рис. 6.8). Аналогично вводят и понятие момента силы относительно оси. Их
, определенного относительно произвольной точки О данной оси (рис. 6.8). Аналогично вводят и понятие момента силы относительно оси. Их
 |
|
Рис. 6.8.
Определение момента импульса и момента силы относительно оси |
обозначают соответственно
и 
. Далее мы увидим, что значения этих проекций 
и 
не зависят от выбора точки О на оси z.
и . Далее мы увидим, что значения этих проекций и не зависят от выбора точки О на оси z. Выясним свойства этих величин. Спроектировав (6.5) на ось z, получим
 |
(6.7) |
т. е. производная по времени от момента импульса частицы относительно оси z равна моменту силы относительно этой оси. В частности, если 
то 
. Другими словами, если момент силы относительно некоторой неподвижной оси z равен нулю, то момент импульса частицы относительно этой оси остается постоянным. При этом сам вектор 
может и меняться.
то . Другими словами, если момент силы относительно некоторой неподвижной оси z равен нулю, то момент импульса частицы относительно этой оси остается постоянным. При этом сам вектор может и меняться. Пример: Небольшое тело массы m, подвешенное на нити равномерно движется по горизонтальной окружности (рис.6.9) под действием силы тяжести 
Относительно точки О момент импульса тела - вектор 
- находится в одной плоскости с осью z и нитью. При движении тела вектор 
под действием момента 
силы тяжести все время поворачивается, т. е. меняется. Проекция же 
остается при этом постоянной, так как вектор
перпендикулярен 
Относительно точки О момент импульса тела - вектор - находится в одной плоскости с осью z и нитью. При движении тела вектор под действием момента силы тяжести все время поворачивается, т. е. меняется. Проекция же остается при этом постоянной, так как векторперпендикулярен
 |
|
Рис. 6.9.
Определение проекций моментов на неподвижную ось |
Найдем теперь аналитические выражения для 
и 
. Нетрудно видеть, что эта задача сводится к нахождению проекций на ось z векторных произведений 
и 
.
и . Нетрудно видеть, что эта задача сводится к нахождению проекций на ось z векторных произведений и . Воспользуемся, цилиндрической системой координат 
связав с частицей А (рис. 6.10) орты 
направленные в сторону возрастания соответствующих координат. В этой системе координат радиус-вектор 
и импульс 
частицы записывают так:
связав с частицей А (рис. 6.10) орты направленные в сторону возрастания соответствующих координат. В этой системе координат радиус-вектор и импульс частицы записывают так:
где 
- проекции вектора 
на соответствующие орты. Из векторной алгебры известно, что векторное произведение 
можно представить
- проекции вектора на соответствующие орты. Из векторной алгебры известно, что векторное произведение можно представить
 |
|
Рис. 6.10.
Нахождение аналитических выражений для проекций  и  |
определителем
Отсюда сразу видно, что момент импульса частицы относительно оси z
 |
(6.8) |
где 
- расстояние частицы от оси z. Преобразуем это выражение к виду, более удобному для практических применений. Учитывая, что 
получим
- расстояние частицы от оси z. Преобразуем это выражение к виду, более удобному для практических применений. Учитывая, что получим |
(6.9) |
где 
- проекция угловой скорости, с которой поворачивается радиус-вектор частицы.
- проекция угловой скорости, с которой поворачивается радиус-вектор частицы. Аналогично (6.8) записывается и момент силы относительно оси z:
 |
(6.10) |
где 
проекция вектора силы
на орт 
проекция вектора силына орт Обратим внимание, что проекции 
и 
действительно не зависят от выбора точки О на оси z, относительно которой определены векторы 
и 
. Кроме того, видно, что 
и 
- величины алгебраические, их знаки соответствуют знакам проекций 
и 
.
и действительно не зависят от выбора точки О на оси z, относительно которой определены векторы и . Кроме того, видно, что и - величины алгебраические, их знаки соответствуют знакам проекций и .
