пользователей: 21219
предметов: 10452
вопросов: 177398
Конспект-online
зарегистрируйся или войди через vk.com чтобы оставить конспект.
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ


7. Консервативные (потенциальные) силы. Потенциальная энергия системы материальных точек. Связь силы и потенциальной энергии.

4.3. Консервативные силы. Условие потенциальности силового поля

 

 

 

image427.gif

Силу image1079.gif, действующую на материальную точку, называют консервативной или потенциальной, если работа image1151.gif, совершаемая этой силой при перемещении этой точки из произвольного положения 1 в другое 2, не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло:

image1152.gif

Изменение направления движения точки вдоль траектории на противоположное вызывает изменение знака консервативной силы, так как величина image1153.gif меняет знак. Поэтому при перемещении материальной точки вдоль замкнутой траектории image1154.gif, например image1155.gif, работа консервативной силы равна нулю.

image1156.gif

Примером консервативных сил могут служить силы всемирного тяготения, силы упругости, силы электростатического взаимодействия заряженных тел. Поле, работа сил которого по перемещению материальной точки вдоль произвольной замкнутой траектории равна нулю, называется потенциальным.

4.8. Связь между потенциальной энергией и силой

 

 

 

Каждой точке потенциального поля соответствует, с одной стороны, некоторое значение вектора силы image1079.gif, действующей на тело, и, с другой стороны, некоторое значение потенциальной энергии image1195.gif. Следовательно, между силой и потенциальной энергией должна существовать определенная связь.

image524.gif

Для установления этой связи вычислим элементарную работу image1157.gif, совершаемую силами поля при малом перемещении image988.gif тела, происходящем вдоль произвольно выбранного направления в пространстве, которое обозначим буквой image981.gif. Эта работа равна

image1196.gif

где image1197.gif- проекция силы image1079.gif на направление image981.gif.

Поскольку в данном случае работа совершается за счет запаса потенциальной энергии image1195.gif, она равна убыли потенциальной энергии image1198.gif на отрезке оси image988.gif:

image1199.gif

Из двух последних выражений получаем

image1200.gif

Откуда

image1201.gif

Последнее выражение дает среднее значение image1197.gif на отрезке image988.gif. Чтобы

получить значение image1197.gif в точке нужно произвести предельный переход:

image1202.gif

Так как image1195.gif может изменяться не только при перемещении вдоль оси image981.gif, но также и при перемещениях вдоль других направлений, предел в этой формул представляет робой так называемую частную производную от image1195.gif по image981.gif:

image1203.gif

Это соотношение справедливо для любого направления в пространстве, в частности и для направлений декартовых координатных осей х, у, z:

image1204.gif

Эта формула определяет проекции вектора силы на координатные оси. Если известны эти проекции, оказывается определенным и сам вектор силы:

image1205.gif

в математике вектор image1206.gif,

где а - скалярная функция х, у, z, называется градиентом этого скаляра обозначается символом image1207.gif.Следовательно сила равна градиенту потенциальной энергии, взятого с обратным знаком

image1208.gif

 

(4.15)
 

 

Рассмотрим систему, состоящую из многих материальных точек. Если задано положение каждой материальной точки, то этим определено и положение всей системы или ее конфигурация. Если силы, действующие на материальные точки системы, зависят только от конфигурации системы (т.е. только от координат материальных точек) и сумма работ этих сил при перемещении системы из одного положения в другое не зависит от пути перехода, а определяется только начальной и конечной конфигурациями системы, то такие силы называются консервативными. В этом случае для системы материальных точек также можно ввести понятие потенциальной энергии системы, обладающей свойством (7): image326.png, (8)

где image328.png- полная работа консервативных сил, действующих на материальные точки системы при переходе ее из конфигурации 1 в конфигурацию 2; image330.pngи image332.pngзначения потенциальной энергии системы в этих конфигурациях.

Связь между силой, действующей на тело в данной точке поля, и его потенциальной энергией определяется по следующим формулам:

image334.png (9)

или image336.png, (10)

где image338.png– называется градиентом скалярной функции image340.pngimage342.png– единичные векторы координатных осей;

image344.png. (11)

Часто формулу (9) записывают также в виде image346.png, где image348.png– оператор набла, определяемый по формуле (11).


15.06.2014; 19:38
хиты: 1302
рейтинг:0
Естественные науки
физика
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2016. All Rights Reserved. помощь