Теорема.
Пусть функция дифференцируема в открытом промежутке и сохраняет непрерывность на концах этого промежутка. Тогда существует такая точка , что
Доказательство.
Рассмотрим вспомогательную функцию
Эта функция непрерывна и дифференцируема в промежутке , а на его концах принимает одинаковые значения: Тогда удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля и, следовательно, существует точка , в которой производная функции равна нулю:Следствие 1.
В частном случае, когда , из теоремы Лагранжа вытекает, что существует точка , в которой производная функции равна нулю: . Это означает, что теорема Лагранжа является обобщением теоремы Ролля.
Следствие 2.
Если во всех точках некоторого промежутка , то в этом промежутке.
Действительно, пусть и – произвольные точки промежутка и . Применяя теорему Лагранжа к промежутку , получим
Учитывая произвольность точек и , получаем требуемое утверждение.
. То есть существует такая точка c, что касательная к графику в этой точке параллальна хорде.