пользователей: 21212
предметов: 10450
вопросов: 177346
Конспект-online
зарегистрируйся или войди через vk.com чтобы оставить конспект.
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

Понятие производной, ее геометрический и механический смысл. Уравнение касательной к графику функции. Вычисление производной функции . Примеры не дифференцируемых функций в точке

Понятие производной, ее геометрический и механический смысл

Определение:

Средней скоростью изменения функции  при переходе независимой переменной от значения  к значению  называется отношение приращения  функции к приращению  независимой переменной, то есть

Определение:

Истинной или мгновенной скоростью изменения функции  при заданном значении независимой переменной  называется предел, к которому стремится средняя скорость изменения функции при стремлению к нулю приращения аргумента :

1.Механический смысл производной

Теорема:

Пусть задан путь  движения материальной точки. Скорость данной материальной точки в момент времени  есть производная от пути  по времени :

Пример:

Задание. Тело движется прямолинейно по закону  (м). Определить скорость его движения в момент  с.

Решение. Искомая скорость - это производная от пути, то есть

В заданный момент времени

 (м/с).

Ответ.  (м/с).

2.Геометрический смысл производной

Производная функции , вычисленная при заданном значении , равна тангенсу угла, образованного положительным направлением оси  и положительным направлением касательной, проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой :

formules_1696.png

formules_1782.png

Замечание:

Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции в точке  .

formules_1783.png

Пример:

Задание. На рисунке №1 изображен график функции  и касательная к нему в точке с абсциссой  . Найти значение .

Решение. Из геометрического смысла производной получаем, что

Найдем угол . Рассмотрим треугольник  - прямоугольный, равнобедренный. Тогда, а значит

А отсюда следует, что

Ответ. 

Уравнение касательной к графику функции

Ключевые слова: касательная, прямая, производная, функция, угловой коэффициент

Производной функции f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции в этой точке char01.pngf=f(x0+char01.pngx)−f(x0) к приращению аргумента char01.pngx 
при char01.pngxchar21.png0fchar30.png(x0)=limchar01.pngxchar21.png0char01.pngxf(x0+char01.pngx)−f(x0).

Геометрический смысл производной

Производная в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.

80_1.gif

Вычисление производной функции

Таблица производных элементарных функций
1. y=x^{\mu},\qquad y^{\prime}=\mu x^{\mu-1};

2. y=a^x,\qquad y^{\prime}=a^x\ln a;

3. y=\log_a x,\qquad \displaystyle  y^{\prime}={1\over x}\log_ae={1\over x\ln a};

4. y=\sin x,\qquad y^{\prime}=\cos x;

y=\cos x,\qquad y^{\prime}=-\sin x;

y={\rm tg}\, x,\qquad \displaystyle y^{\prime}={1\over \cos^2x};

y={\rm ctg}\, x,\qquad \displaystyle y^{\prime}=-{1\over \sin^2x};

y={\rm arcsin}\, x,\qquad \displaystyle y^{\prime}={1\over \sqrt{1-x^2}};

y={\rm arccos}\, x,\qquad \displaystyle y^{\prime}=-{1\over \sqrt{1-x^2}};

y={\rm arctg}\, x,\qquad \displaystyle y^{\prime}={1\over 1+x^2}.

Вычислите производные следующих функций:

а) f(x)=3-2x;

б) f(x)=\sqrt[3]{x};

в) f(x)=x^2\sqrt[4]{x^5};

г) f(x)=\cos x-{\rm tg}\, x;

д) \displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{x}.

Примеры не дифференцируемых функций в точке

Исходя из определения, докажем, что функция y = x2 дифференцируема в точке x0 = 3.

Решение.

Функция называется дифференцируемой в точке x0, если ее приращение представимо в виде

 
  Δf = f(x0 + Δx) − f(x0) = A · Δx + ox) ,  
 

где A — число, не зависящее от Δх, а ox) — функция более высокого порядка малости, чем Δx, при Δx → 0 .

В нашем случае приращение функции y = x2 в точке x0 =3 имеет вид

  Δf = (3 + Δx)2 − 9 = 6 · Δx + (Δx)2 .  
 

Таким образом, приращение Δf есть сумма линейной относительно Δx части, равной 6 · Δx, и бесконечно малой (Δx)2 второго (более высокого, чем Δx) порядка малости при Δx → 0. Следовательно, по определению функция y = x2 дифференцируема в точке x = 3.

 


24.01.2014; 01:15
хиты: 3941
рейтинг:0
Точные науки
математика
прикладная математика
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2016. All Rights Reserved. помощь