Задача о касательной, приводящая к понятию о производной

1.Задача о скорости движущейся точки

Пусть s = s (t) представляет закон  прямолинейного движения материальной точки.  

Это уравнение выражает путь s, пройденный  точкой, как функцию времени t.  

Обозначим через Δs путь, пройденный за промежуток времени Δt от момента t до t + Δt , т. е. 
Δs  = s(t + Δt ) - s (t). Отношение   называется средней скоростью точки за время от t до t + Δt.  

Чем меньше Δt, т. е. чем короче промежуток времени от t до t + Δt, тем лучше средняя скорость характеризует  движение точки в момент времени t. Поэтому  естественно ввести понятиескорости v в данный  момент t, определив ее как предел средней  скорости за промежуток отt до t + Δt, когда Δt→ 0:  

Величина v называется мгновенной  скоростью точки в данный момент t. 

2.Задача о касательной к данной кривой.  

Пусть на плоскости хОу дана кривая уравнением у = f (х). Требуется провести  касательную к данной кривой в данной точке . 

Так как точка касания  дана, то для решения задачи потребуется найти только угловой коэффициент искомой касательной, т. е. tg φ — тангенс угла наклона касательной к  положительному направлению оси Ох (рис.).

Через точки  и  проведем секущую  

Из рис. видно, что угловой коэффициент tg α секущей  равен отношению  — , где 
Угловой коэффициент касательной  к  данной кривой в точке  можно найти на  основании следующего определения: 
касательной к кривой в точке  называется прямая ,  угловой коэффициент которой равен пределу углового коэффициента секущей , когда  .  Отсюда следует, что