Определение точки разрыва:
Точка , в которой нарушено хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, а именно:
- функция определена в точке и ее окрестности;
- существует конечный предел функции в точке ;
- это предел равен значению функции в точке , т.е.
называется точкой разрыва функции.
Пример:
Функция не определена в точке , а значит, эта точка является точкой разрыва указанной функции.
Классификация:
1.Точка разрыва первого рода
Определение:
Если в точке существуют конечные пределы и , такие, что , то точка называется точкой разрыва первого рода.
Пример:
Функция в точке имеет разрыв первого рода, так как
, а
2.Точка разрыва второго рода
Определение:
Если хотя б один из пределов или не существует или равен бесконечности, то точка называется точкой разрыва второго рода.
Пример:э
Для функции точка - точка разрыва второго рода, так как .
3.Точка устранимого разрыва
Определение:
Если существуют левый и правый пределы функции в точке и они равны друг другу, но не совпадают со значением функции в точке : или функция не определена в точке , то точка называется точкой устранимого разрыва.
Пример:
Рассмотрим функцию . Найдем односторонние пределы и значение функции в точке :
Так как и не равны значению функции в точке, то точка - точка устранимого разрыва.