пользователей: 30398
предметов: 12406
вопросов: 234839
Конспект-online
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

Признаки существования пределов

1. Теорема Больцано – Вейерштрасса.

Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

2. Теорема о «зажатой» последовательности.

Если  и , то и .

3. Критерий Коши.

Для того чтобы последовательность  имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого  можно было указать такой номер , что  для всех  при любых .

***

a. Часто характер изменения функции с приближением аргумента к какому-либо пределу настолько сложен, что может возникнуть сомнение в самом существовании предела.

b. То обстоятельство, что с приближением аргумента к какому-либо пределу функция может и не иметь предела, покажет хотя бы следующий простой пример:

image1.gif

По мере увеличения  функция  принимает периодически все возможные для нее значения от —1 до  и, таким образом, ни к какому определенному пределу не приближается.

c. Укажем здесь один простой признак, который в интересующих нас случаях позволит узнать, стремится ли функция к какому-либо пределу или нет.

Чтобы лучше понять, в чем этот признак состоит, вспомним, как мы в элементарной геометрии подходили к вычислению площади круга. Последнюю мы рассматривали там как общий предел площадей вписанных и описанных правильных многоугольников (получаемых, например, последовательным удвоением числа сторон).

Именно, при беспредельном увеличении числа сторон происходит следующее (рис. 7):

image2.gif

Рис. 7

1. Площадь вписанного многоугольника возрастает.

2. Площадь описанного многоугольника убывает.

3. Разность между обеими площадями стремится к нулю.

Ввиду 1, 2 и 3 мы считаем очевидным, что обе площади стремятся к некоторому общему пределу (который и принимаем за площадь круга).

d. Другой пример возьмем из алгебры. Извлекая по известным правилам, получим

image3.gif

Если рассмотреть два набора чисел и принимающих такие последовательные значения:

image4.gif

(числа суть так называемые приближенные значения с недостатком, а числа  — приближенные значения с избытком), то увидим, что:

1)  возрастает;

2)  убывает;

3) разность стремится к нулю.

Мы опять считаем очевидным, что стремятся к некоторому общему пределу (который и принимаем за).

e. И вообще, если:

1) переменная возрастает

2) переменная убывает

3) разность стремится к нулю

то считаем очевидным, что переменные стремятся к некоторому вполне определенному общему пределу.

Это утверждение принимаем как аксиому, т. е. как очевидную истину, не требующую доказательства.


23.01.2014; 23:10
хиты: 149
рейтинг:0
Точные науки
математика
прикладная математика
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2024. All Rights Reserved. помощь