Теорема о единственности предела. Основные теоремы о пределах. Предел сложной функции

Терема:

Если функция $f(x)$ в точке $a$ имеет предел, то этот предел единственный.

Последовательность точек расширенной числовой прямой est_r.gif (79 bytes) может иметь на этой прямой только один предел.

Теорема 1. (о предельном переходе в равенстве) Если две функции принимают одинаковые значения в окрестности некоторой точки, то их пределы в этой точке совпадают.

Þ .

Теорема 2. (о предельном переходе в неравенстве) Если значения функции f(x) в окрестности некоторой точки не превосходят соответствующих значений функции g(x) , то предел функции f(x) в этой точке не превосходит предела функции g(x).

Þ .

Теорема 3. Предел постоянной равен самой постоянной.

Доказательство. f(x)=с, докажем, что .

Возьмем произвольное e>0. В качестве d можно взять любое

положительное число. Тогда при

Теорема 4. Функция не может иметь двух различных пределов в

одной точке.

Доказательство. Предположим противное. Пусть

и .

По теореме о связи предела и бесконечно малой функции:

f(x)-A= - б.м. при ,

f(x)-B= - б.м. при .

Вычитая эти равенства, получим:

B-A=-.

Переходя к пределам в обеих частях равенства при , имеем:

B-A=0, т.е. B=A. Получаем противоречие, доказывающее теорему.

Теорема 5. Если каждое слагаемое алгебраической суммы функций имеет предел при , то и алгебраическая сумма имеет предел при , причем предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов.

Доказательство. Пусть , , .

Тогда, по теореме о связи предела и б.м. функции:

где - б.м. при.

Сложим алгебраически эти равенства:

f(x)+g(x)-h(x)-(А+В-С)=,

где б.м. при .

По теореме о связи предела и б.м. функции:

А+В-С=.

Теорема 6. Если каждый из сомножителей произведения конечного числа функций имеет предел при , то и произведение имеет предел при, причем предел произведения равен произведению пределов.