Смешанным произведением векторов называется число , равное скалярному произведению вектора на векторное произведение векторов и . Смешанное произведение обозначается .
Геометрические свойства смешанного произведения:
1. Модуль смешанного произведения некомпланарных векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Произведение положительно, если тройка векторов — правая, и отрицательно, если тройка — левая, и наоборот.
2. Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны:
Алгебраические свойства смешанного произведения:
1. При перестановке двух множителей смешанное произведение изменяет знак на противоположный:
При циклической (круговой) перестановке множителей смешанное произведение не изменяется:
2. Смешанное произведение линейно по любому множителю.
Формула вычисления смешанного произведения:
Теорема: (формула вычисления смешанного произведения).Если векторы в правом ортонормированном базисе имеют координаты ; ; соответственно, то смешанное произведение этих векторов находится по формуле:
Условия компланарности векторов
Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами.
Всегда возможно найти плоскости параллельную двум произвольным векторам, по-этому любые два вектора всегда компланарные.
Условия компланарности векторов:
-
Для 3-х векторов.Три вектора компланарны если их смешанное произведение равно нулю.
-
Для 3-х векторов.Три вектора компланарны если они линейно зависимы.
-
Для n векторов.Вектора компланарны если среди них не более двух линейно независимых векторов.