пользователей: 30398
предметов: 12406
вопросов: 234839
Конспект-online
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

Смешанное произведение и его свойства. Условие компланарности векторов

Смешанным произведением векторов \vec{a},\vec{b},\vec{c} называется число \bigl\langle\vec{a},[\vec{b},\vec{c}]\bigl\rangle, равное скалярному произведению вектора \vec{a} на векторное произведение векторов \vec{b} и \vec{c}. Смешанное произведение обозначается (\vec{a},\vec{b},\vec{c}).

Геометрические свойства смешанного произведения:

1. Модуль смешанного произведения некомпланарных векторов \vec{a},\vec{b},\vec{c} равен объему V_{*\vec{a},\vec{b},\vec{c}}параллелепипеда, построенного на этих векторах. Произведение (\vec{a},\vec{b},\vec{c}) положительно, если тройка векторов \vec{a},\vec{b},\vec{c} — правая, и отрицательно, если тройка \vec{a},\vec{b},\vec{c} — левая, и наоборот.

2. Смешанное произведение (\vec{a},\vec{b},\vec{c}) равно нулю тогда и только тогда, когда векторы \vec{a},\vec{b},\vec{c} компланарны:

(\vec{a},\vec{b},\vec{c})=0~\Leftrightarrow векторы \vec{a},\vec{b},\vec{c} компланарны.

Алгебраические свойства смешанного произведения:

1. При перестановке двух множителей смешанное произведение изменяет знак на противоположный:

 
(\vec{a},\vec{b},\vec{c})=-(\vec{b},\vec{a},\vec{c}),\qquad (\vec{a},\vec{b},\vec{c})=-(\vec{c},\vec{a},\vec{a}),\qquad (\vec{a},\vec{b},\vec{c})=-(\vec{a},\vec{c},\vec{b}).
 

При циклической (круговой) перестановке множителей смешанное произведение не изменяется:

 
(\vec{a},\vec{b},\vec{c})=(\vec{b},\vec{c},\vec{a})=(\vec{c},\vec{a},\vec{b}).
 

2. Смешанное произведение линейно по любому множителю.

Формула вычисления смешанного произведения:

Теорема: (формула вычисления смешанного произведения).Если векторы \vec{a},\vec{b},\vec{c} в правом ортонормированном базисе \vec{i},\vec{j},\vec{k}имеют координаты x_a,y_a,z_ax_b,y_b,z_bx_c,y_c,z_c соответственно, то смешанное произведение этих векторов находится по формуле:

(\vec{a},\vec{b},\vec{c})= \begin{vmatrix} x_a&y_a&z_a\\ x_b&y_b&z_b\\ x_c&y_c&z_c \end{vmatrix}.

 

 

Условия компланарности векторов

Определение.
 

Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами

Компланарные вектора

Всегда возможно найти плоскости параллельную двум произвольным векторам, по-этому любые два вектора всегда компланарные.

Условия компланарности векторов:

  • Для 3-х векторов.
     Три вектора компланарны если их смешанное произведение равно нулю.
  • Для 3-х векторов.
     Три вектора компланарны если они линейно зависимы.
  • Для n векторов.
     Вектора компланарны если среди них не более двух линейно независимых векторов.

 

 


23.01.2014; 16:08
хиты: 184
рейтинг:0
Точные науки
математика
прикладная математика
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2024. All Rights Reserved. помощь