пользователей: 21251
предметов: 10459
вопросов: 177801
Конспект-online
зарегистрируйся или войди через vk.com чтобы оставить конспект.
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

Системы m линейных уравнений с n неизвестными. Основные понятия. Матричный вид системы линейных уравнений

Уравнение называется линейным, если оно содержит переменные только в первой степени и не содержит произведений переменных

Правило Крамера:

Пусть задана система n линейных уравнений с n неизвестными

image327.gif

Составим из коэффициентов при неизвестных определитель и назовем его определителем системы:

Решение. вычислим определитель системы:

image329.gif т.е. система совместна.

Найдем далее вспомогательные определители:

image315.gif

image331.gif image333.gif image335.gif

Тогда х1=30, х2=20, х3=-60.

Основные понятия

Соответственно, решить систему уравнений — значит найти множество всех ее решений или доказать, что это множество пусто. Поскольку число уравнений и число неизвестных может не совпадать, возможны три случая:

  1. Система несовместна, т.е. множество всех решений пусто. Достаточно редкий случай, который легко обнаруживается независимо от того, каким методом решать систему.
  2. Система совместна и определена, т.е. имеет ровно одно решение. 
  3. Система совместна и не определена, т.е. имеет бесконечно много решений. Это самый жесткий вариант. Недостаточно указать, что «система имеет бесконечное множество решений» — надо описать, как устроено это множество.

Матричный вид системы линейных уравнений

1.Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных.
2.Метод удобен для решения систем невысокого порядка.
3.Метод основан на применении свойств умножения матриц.

В общем случае линейное уравнение имеет вид:

a1x1+a2x2+...+anxn=b

где:

  • a1, a2,...,an, b — постоянные величины
  • x1, x2,..., xn — неизвестные

Любой n-мерный вектор Х = (x1, x2,....xn) называется решением уравнения, если при подстановке его координат уравнение обращается в тождество.

Два линейных уравнения называются равносильными, если они имеют одно и тоже множество решений.

Три случая при решении линейных уравнений:

  1. Если коэффициенты при неизвестных a1 = a= ... = an =0 и b = 0, в этом случае уравнение имеет вид: 0*x1+0*x2+...+0*xn=0 и называется тривиальным (данное уравнение имеет бесконечное множество решений)
  2. Если коэффициенты a1 = a2 = ... = an =0, а b ≠ 0, в этом случае уравнение имеет вид: 0*x1+0*x2+...+0*xn= b и называется противоречивым. (данное уравнение не имеет ни одного решения)
  3. Хотя бы один из коэффициентов при неизвестных отличен от нуля.

 


22.01.2014; 20:51
хиты: 220
рейтинг:0
Точные науки
математика
прикладная математика
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2016. All Rights Reserved. помощь