Системы m линейных уравнений с n неизвестными. Основные понятия. Матричный вид системы линейных уравнений

Пусть задана система n линейных уравнений с n неизвестными

Составим из коэффициентов при неизвестных определитель и назовем его определителем системы:

Решение. вычислим определитель системы:

 т.е. система совместна.

Найдем далее вспомогательные определители:

Тогда х₁=30, х₂=20, х₃=-60.

Основные понятия

Соответственно, решить систему уравнений — значит найти множество всех ее решений или доказать, что это множество пусто. Поскольку число уравнений и число неизвестных может не совпадать, возможны три случая:

1. Система несовместна, т.е. множество всех решений пусто. Достаточно редкий случай, который легко обнаруживается независимо от того, каким методом решать систему.
2. Система совместна и определена, т.е. имеет ровно одно решение. 
3. Система совместна и не определена, т.е. имеет бесконечно много решений. Это самый жесткий вариант. Недостаточно указать, что «система имеет бесконечное множество решений» — надо описать, как устроено это множество.

Матричный вид системы линейных уравнений

1.Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных.
2.Метод удобен для решения систем невысокого порядка.
3.Метод основан на применении свойств умножения матриц.

В общем случае линейное уравнение имеет вид:

a₁x₁+a₂x₂+...+a_nx_n=b

где:

• a₁, a₂,...,a_n, b — постоянные величины
• x₁, x₂,..., x_n — неизвестные

Любой n-мерный вектор Х = (x₁, x₂,....x_n) называется решением уравнения, если при подстановке его координат уравнение обращается в тождество.

Два линейных уравнения называются равносильными, если они имеют одно и тоже множество решений.

Три случая при решении линейных уравнений:

1. Если коэффициенты при неизвестных a₁ = a₂ = ... = a_n =0 и b = 0, в этом случае уравнение имеет вид: 0*x₁+0*x₂+...+0*x_n=0 и называется тривиальным (данное уравнение имеет бесконечное множество решений)
2. Если коэффициенты a₁ = a₂ = ... = a_n =0, а b ≠ 0, в этом случае уравнение имеет вид: 0*x₁+0*x₂+...+0*x_n= b и называется противоречивым. (данное уравнение не имеет ни одного решения)
3. Хотя бы один из коэффициентов при неизвестных отличен от нуля.