пользователей: 21209
предметов: 10450
вопросов: 177346
Конспект-online
зарегистрируйся или войди через vk.com чтобы оставить конспект.
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

Ранг матрицы. Преобразования матрицы, не меняющие ее ранга

Ранг матрицы

Ранг матрицы – это максимальное количество линейно независимых строк. Или: ранг матрицы – это максимальное количество линейно независимых столбцов. Да, их количество всегда совпадает.

Сойство ранга матрицы:

1. Ранг матрицы равен нулю только для нулевой матрицы. В других случаях ранг матрицы равен некоторому положительном числу.

2. Ранг прямоугольной матрицы не превышает меньшего из двух чисел Mtx3_003.gifи Mtx3_004.gif т.е. Mtx3_005.gif.

3. Для квадратной матрицы Mtx3_006.gif-го порядка Mtx3_007.gif только тогда, когда матрица невырожденная.

Невырожденная матрица (иначе неособенная матрица) ― квадратная матрицаопределитель которой отличен от нуля. В противном случае матрица называется вырожденной.

4. В случае квадратной матрицы если Mtx3_008.gif то определитель матрицы равен нулю.

r-ранг-rank

n-порядок матрицы

Преобразования матрицы, не изменяющие ее ранг

Рассмотрим следующие элементарные преобразования матриц:

  1. Перестановка строк или столбцов.
  2. Умножение строки или столбца на ненулевое число.
  3. Прибавление к строке (столбцу) другой строки (столбца), предварительно умноженной на любое число.

Теорема. Элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы.

     Для доказательства теоремы достаточно убедиться в том, что в результате элементарных преобразований нулевой определитель остается нулевым, а ненулевой – ненулевым. 

  1. Перестановка строк или столбцов матрицы изменяет только знак определителя.
  2. При умножении строки (столбца) матрицы на ненулевое число определитель умножается на это число.
  3. Определитель не изменяется, если к строке (столбцу) прибавляется другая строка (столбец).

24.01.2014; 20:39
хиты: 252
рейтинг:0
Точные науки
математика
прикладная математика
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2016. All Rights Reserved. помощь