Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий.
Пример 5: пусть А - из урны вытянули белый шар, B - из урны вытянули белый шар, тогда АВ - из урны вытянули два белых шара; если А - идет дождь, B - идет снег, то АB - дождь со снегом; А - число четное, B - число кратное 3, тогда АB - число кратное 6.
Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В.
Два события А и В называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. В противном случае события А и В называются зависимыми. Например, из одной колоды тянут карты, не возвращая их.
Условной вероятностью PA(B) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.
Теорема умножения для зависимых событий
Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:
|
P (AB) = P (A)*PA(B). |
(2.4) |
Пример 6. В читальном зале имеется 6 учебников по информатике, из которых три в переплете. Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете.
Решение. Рассмотрим следующие события:
А1- первый взятый учебник в переплете;
A2- второй взятый учебник в переплете.
Событие A = A1 * A2, состоит в том, что оба взятых учебника в переплете. События А1 и А2 являются зависимыми, так как вероятность наступления событияА2 зависит от наступления события А1. Поэтому, для вычисления вероятности воспользуемся формулой (2.4).
Вероятность наступления события А1 в соответствии с классическим определением вероятности:
P (А1) = m / n = 3/6 = 0,5.
P А1 (А2) определяется как условная вероятность наступления события А2 при условии, что событие А1 уже наступило:
P А1 (А2) = 2/5 = 0,4.
Тогда искомая вероятность наступления события А:
P (А) = 0,5 * 0,4 = 0,2.
Теорема умножения для независимых событий
Теорема. Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей:
|
P(AB) = P(A)*P(B). |
(2.5) |
Теорема сложения вероятностей совместных событий
Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.
Пример 6. А - появление четырех очков при бросании игральной кости; В - появление четного числа очков. Событие А и В - совместны.
Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
|
P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB). |
(2.6) |
Пример 7. Два студента читают книгу. Первый студент дочитает книгу с вероятностью – 0,6; второй – 0,8. Найти вероятность того, что книга будет прочитана хотя бы одним из студентов.
Решение. Вероятность того, что книга будет прочитана каждым из студентов не зависит от результата отдельно взятого студента, поэтому события А (первый студент дочитал книгу) и B (второй студент дочитал книгу) независимы и совместны. Искомую вероятность находим по формуле 2.6.
Вероятность события АB (оба студента дочитали книгу):
P (AB) = P (A) * P (B) = 0,6 * 0,8 = 0,48.
Тогда
P (A + B) = 0,6 + 0,8 - 0,48 = 0,92.
Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через А, то другое принято обозначать 
.
