Необходимое и достаточное условия существования точки экстремума.

Экстремумом функции называется максимальное (минимальное) значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум называется точкой экстремума.

Теорема (необходимое условие экстремума)

Если точка $x_{0}$ — точка экстремума функции $f(x)$ , то она критическая.

Доказательство: По условию точка $x_{0}$ — точка экстремума функции $f(x)$ $\Rightarrow$ по теореме Фермапроизводная ${f}'(x_{0})=0$ $\Rightarrow$ точка $x_{0}$ является критической.

Замечания: Не всякая критическая точка является точкой экстремума.

Теорема (первое достаточное условие экстремума в терминах первой производной)

Пусть функция $f(x)$ дифференцируема в некоторой окрестности точки $x_{0}$ , кроме, быть может, самой точки $x_{0}$ и непрерывна в этой точке. Тогда:

Если производная ${f}'$ меняет знак с «-» на «+» при переходе через точку $x_{0}$ : $\forall x\epsilon (x_{0}-\delta ;x_{0}) {f}'(x)<0$ и $\forall x\epsilon (x_{0}; x_{0}+\delta) {f}'(x)>0$ , то $x_{0}$ — точка строго минимума функции $f(x).$
Если производная ${f}'$ меняет знак с «+» на «-» при переходе через точку $x_{0}$ : $\forall x\epsilon (x_{0}-\delta;x_{0} ){f}'(x)>0$ и $\forall x\epsilon (x_{0}; x_{0}+\delta) {f}'(x)<0$ , то $x_{0}$ — точка строго максимума функции $f(x).$

Доказательство: Пусть, например, ${f}'$ меняет знак с «-» на «+». Рассмотрим точку $x_{0}$ на сегменте $\left [ x;x_{0} \right ].$ Воспользуемся теоремой о конечных приращениях Лагранжа: $f(x)-f(x_{0})={f}'(\xi)(x-x_{0})$ , $\xi \epsilon (x;x_{0})$ . Поскольку при переходе через точку $x_{0}$ функция меняет знак с «-» на «+», то ${f}'(\xi)<0$ и $x< x_{0}$ , то $x- x_{0}<0$ $f(x)-f(x_{0})>0.$

Аналогично рассмотрим сегмент $\left [ x_{0};x \right ].$ , получим
$f(x)-f(x_{0})>0$ $\Rightarrow$ $f(x_{0})< f(x)$ $\Rightarrow$ $x_{0}$ — точка строгого минимума функции.

Замечания: Если $x_{0}$ — точка строго экстремума, то из этого не следует, что производная ${f}' (x)$ меняет знак при переходе через точку $x_{0}.$

Теорема (второе достаточное условие строгого экстремума в терминах второй производной)

Пусть дана функция $f(x)$ , ее первая производная ${f}'(x_{0})=0$ и пусть $\exists {f}''(x_{0})$ , тогда:

Если ${f}''(x_{0})>0$ , то точка $x_{0}$ — точка строгого минимума;
Если ${f}''(x_{0})<0$ , то точка $x_{0}$ — точка строгого максимума.

Доказательство: Докажем теорему для первого случая, когда ${f}''(x_{0})>0$ . По скольку ${f}''(x_{0})$ непрерывна, то на достаточно малом интервале $(x_{0}-\delta ;x_{0}+\delta)$ , т.к ${f}''(x_{0})>0$ , то ${f}'(x_{0})$ возрастает в этом интервале. ${f}'(x_{0})=0$ , значит ${f}'(x_{0})<0$ на интервале $(x_{0}-\delta ;x_{0})$ и ${f}'(x_{0})>0$ на интервале $(x_{0} ;x_{0}+\delta)$ .

Таким образом функция $f(x)$ убывает на интервале $(x_{0}-\delta ;x_{}0)$ и возрастает на интервале $(x_{0} ;x_{0}+\delta)$ $\Rightarrow$ по первому достаточному условию экстремума функция в точке $x_{0}$ имеет минимум.
Аналогично доказывается второй случай теоремы.

Замечания: Если ${f}'(x)=0$ и ${f}''(x)=0$ , то функция $f(x)$ может и не иметь экстремум в точке $x_{0}.$

Теорема (третье достаточное условие строгого экстремума в терминах производных порядка больше 2х)

Пусть $\exists f^{(n)}(x_{0})$ , $n> 2$ и ${f}'(x_{0})={f}''(x_{0})=...=f^{(n-1)}(x_{0})=0$ , $f^{(n)}(x_{0})\neq 0.$ Тогда:

Если (т.е — четное), то — точка экстремума:
- если $f^{(n)}(x_{0})<0$ , то $x_{0}$ — точка локального максимума;
- если $f^{(n)}(x_{0})>0$ , то $x_{0}$ — точка локального минимума;
Если $n=2k+1$ (т.е $n$ — нечетное), то $x_{0}$ — не является точкой экстремума.

Доказательство: Воспользуемся формулой Тейлора в окрестности точки $x_{0}$ с остатком в форме Пеано: $f(x)=f(x_{0})+\frac{{f}'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+...+\frac{f^{(n-1)}(x_{0})}{(n-1)!}(x-x_{0})^{n-1}+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+o((x-x_{0})^{n}), ,x\rightarrow x_{0}$ .

По скольку все производные до $(n-1)$ порядка включительно=0 получим: $f(x)-f(x_{0})=\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+o((x-x_{0})^{n}), x\rightarrow x_{0}.$ Запишем полученное выражение в виде: $f(x)-f(x_{0})=\frac{f(n)(x_{0})}{n!}(x-x_{0})\left [ 1+\frac{o((x-x_{0})^{n})}{(x-x_{0})^{n}} \right ]$ . Выражение $[1+\frac{o((x-x_{0})^{n})}{(x-x_{0})^{n})}]>1$ . Пусть $n=2k$ $\Rightarrow$ $(x-x_{0}) ^{n}> 0$ , $-sign(f(x)-f(x_{0}))=signf^{(n)}(x_{0})$ .

Необходимое и достаточное условия существования точки экстремума.

Теорема (необходимое условие экстремума)

Доказательство: По условию точка — точка экстремума функции по теореме Фермапроизводная точка является критической.