Достаточное условие монотонности функции

Теорема (достаточное условие строгой монотонности)

1. Если для любых значений $x$ из $(a,b) f'(x)>0$ ,то $f$ строго возрастает на $(a,b)$ .
2. Если для любых значений $x$ из $(a,b) f'(x)<0$ ,то $f$ строго убывает на $(a,b)$ .

Пусть $x_{2}>x_{1}$ , применим формулу конечных приращений Лагранжа: $f(x_{2})-f(x_{1})=f'(\xi)*(x_{2}-x_{1})>0,$ так как $x_{2}>x_{1}$ и $f'(\xi)>0$ , то $f(x_{2})<f(x_{1})$ .
Пусть $x_{2}<x_{1}$ , применим формулу конечных приращений Лагранжа: $f(x_{1})-f(x_{2})=f'(\xi)*(x_{1}-x_{2})>0,$ так как $x_{2}<x_{1}$ и $f'(\xi)>0$ , то $f(x_{2})<f(x_{1})$ .