При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой.
Определение. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю. Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. Асимптоты могут быть прямые и наклонные. Исследование функций на наличие асимптот имеет большое значение и позволяет более точно определить характер функции и поведение графика кривой.Вообще говоря, кривая, неограниченно приближаясь к своей асимптоте, может и пересекать ее, причем не в одной точке, как показано на приведенном ниже графике функции . Ее наклонная асимптота у = х.
Вертикальные асимптоты.Из определения асимптоты следует, что если или или , то прямая х = а – асимптота кривой y = f(x).Например, для функции прямая х = 5 является вертикальной асимптотой.
Наклонные асимптоты.Предположим, что кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту y = kx + b.
Обозначим точку пересечения кривой и перпендикуляра к асимптоте – М, Р – точка пересечения этого перпендикуляра с асимптотой. Угол между асимптотой и осью Ох обозначим j. Перпендикуляр МQ к оси Ох пересекает асимптоту в точке N.Тогда MQ = y – ордината точки кривой, NQ = - ордината точки N на асимптоте. По условию: , ÐNMP = j, .
Угол j - постоянный и не равный 900, тогда
Тогда .Итак, прямая y = kx + b – асимптота кривой. Для точного определения этой прямой необходимо найти способ вычисления коэффициентов k и b. В полученном выражении выносим за скобки х:
Т.к. х®¥, то , т.к. b = const, то .Тогда , следовательно,
.Т.к. , то , следовательно,
Отметим, что горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот при k =0.
