Определение.Эллипсом называется линия, заданная уравнением (х\а)2+(у\в)2=1.
Определение. Фокусами называются такие две точки, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса есть постоянная величина.
Теорема.Фокусное расстояние и полуоси эллипса связаны соотношением:a2 = b2 + c2.
Доказательство:В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с вертикальной осью, r1 + r2 = 2 (по теореме Пифагора). В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с горизонтальной осью, r1 + r2 = a – c + a + c. Т.к. по определению сумма r1 + r2 – постоянная величина, то , приравнивая, получаем:a2 = b2 + c2 r1 + r2 = 2a.
Определение. Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется эксцентриситетом.Е = с/a. Т.к. с <a, то е < 1.
Определение. Величина k = b/a называется коэффициентом сжатия эллипса, а величина 1 – k = (a – b)/a называется сжатием эллипса.Коэффициент сжатия и эксцентриситет связаны соотношением: k2 = 1 – e2.Если a = b (c = 0, e = 0, фокусы сливаются), то эллипс превращается в окружность.Если для точки М(х1, у1) выполняется условие: , то она находится внутри эллипса, а если , то точка находится вне эллипса.
Теорема. Для произвольной точки М(х, у), принадлежащей эллипсу верны соотношения:r1 = a – ex, r2 = a + ex.
Доказательство. Выше было показано, что r1 + r2 = 2a. Кроме того, из геометрических соображений можно записать:
После возведения в квадрат и приведения подобных слагаемых: Аналогично доказывается, что r2 = a + ex. Теорема доказана.С эллипсом связаны две прямые, называемые директрисами. Их уравнения: x = a/e; x = -a/e.
Теорема.Для того, чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету е.Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и нижнюю вершину эллипса, заданного уравнением: Координаты нижней вершины: x = 0; y2 = 16; y = -4. Координаты левого фокуса: c2 = a2 – b2 = 25 – 16 = 9; c = 3; F2(-3; 0). Уравнение прямой, проходящей через две точки:
Определение.Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами. По определению ïr1 – r2ï= 2a. F1, F2 – фокусы гиперболы. F1F2 = 2c.Выберем на гиперболе произвольную точку М(х, у). Тогда: ; ;
обозначим с2 – а2 = b2 (геометрически эта величина – меньшая полуось) а2в2=в2х2-а2у2.
Получили каноническое уравнение гиперболы.Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат.Ось 2а называется действительной осью гиперболы.Ось 2b называется мнимой осью гиперболы.Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых
Определение. Отношение называется эксцентриситетом гиперболы, где с – половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось.С учетом того, что с2 – а2 = b2: Если а = b, e = , то гипербола называется равнобочной (равносторонней).
Определение. Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии a/e от него, называются директрисами гиперболы. Их уравнения: . Теорема.Если r – расстояние от произвольной точки М гиперболы до какого- либо фокуса, d – расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r/d – величина постоянная, равная эксцентриситету.
Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.Расположим начало координат посередине между фокусом и директрисой.
Величина р (расстояние от фокуса до директрисы) называется параметром параболы. Выведем каноническое уравнение параболы.Из геометрических соотношений: AM = MF; AM = x + p/2;MF2 = y2 + (x – p/2)2 (x + p/2)2 = y2 + (x – p/2)2 x2 +xp + p2/4 = y2 + x2 – xp + p2/4 y2 = 2px Уравнение директрисы: x = -p/2. Пример. На параболе у2 = 8х найти точку, расстояние которой от директрисы равно 4. Из уравнения параболы получаем, что р = 4. r = x + p/2 = 4; следовательно:x = 2; y2 = 16; y = ±4. Искомые точки: M1(2; 4), M2(2; -4).
