При вращении твёрдого тела относительно неподвижной оси, все точки тела движутся по плоским круговым траекториям. Выделим частицу mi тела, вращающегося вокруг оси z (рис. 9.2). Положение частицы зададим радиус-вектором 
относительно произвольного центра 0, лежащего на оси вращения. Ri — радиус окружности, по которой движется рассматриваемая точка.Vi = wRi — её линейная скорость.
Рис. 9.2
Рассматривая твёрдое тело как неизменную систему материальных точек, для каждой из них можно записать уравнение моментов:
. (9.1)
В левой части этого уравнения — момент внешних сил относительно оси z, действующий на частицу mi. Справа — производная по времени проекции момента импульса частицы на ту же ось.
Момент импульса частицы относительно центра 0 (по определению) равен:
.
Заметим, что для всех частиц 
, поэтому легко вычислить модуль этого вектора Li:
Li = miriVi = miriwRi.
Так как 
образует угол ai с осью z, то проекция этого вектора на ось z равна:
= LiCosai = miriwRiCosai = miwRi(riCosai) = miw
. (9.2)
Учитывая этот результат, перепишем уравнение (9.1) ещё раз:
. (9.3)
Подобные уравнения могут быть составлены для всех точек твёрдого тела.
Просуммировав все эти уравнения, получим закон вращательного движения твёрдого тела:
или
. (9.4)
Здесь: Mz — суммарный момент всех внешних сил, вращающих твёрдое тело вокруг оси z;
wz — угловая скорость вращения;
— новая характеристика твёрдого тела — его момент инерции относительно оси вращения;
Lz = Izwz — момент импульса тела относительно оси z.
Если момент инерции твёрдого тела Iz не меняется, уравнению (9.4) можно придать такой вид:
. (9.5)
Здесь ε =
— угловое ускорение вращающегося тела.
Уравнение (9.5) называется основным уравнением динамики для твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
Mz = Iz×ε (9.6)
Трудно не заметить сходство этого уравнения со вторым законом Ньютона для движения точки:
Fz = maz
Сравнивая эти два выражения, отметим, что в уравнении для вращательного движения в качества «силы» выступает момент силы, вместо линейного ускорения — угловое, вместо массы используется момент инерции Iz.
Сходство этих уравнений можно продолжить, записав их иначе (9.2)
Здесь: Lz = Iz wx — момент импульса тела относительно оси z,
Pz = mVz — проекция вектора импульса частицы на ось z.
Во вращательном движении аналогом импульса Р является момент импульса L.
Рассмотренные аналогии позволяют назвать уравнение (9.6) уравнением второго закона динамики (Ньютона) для вращательного движения:
момент внешних сил, вращающих тело вокруг данной оси, равен моменту инерции тела относительно этой оси, умноженному на угловое ускорение тела.
Вернемся ещё раз к уравнению (9.4):
.
Оно в равной степени справедливо как для твердого тела, так и для системы тел. Если момент внешних сил относительно оси z равен нулю, то момент импульса системы относительно этой же оси будет оставаться постоянным.
Mz = 0, Þ 
Þ Lz = Izwz = сonst.
Это закон сохранения момента импульса — аналог закона сохранения импульса замкнутой системы. Но есть между этими законами одно существенное различие. Постоянство импульса частицы (если её масса не меняется) означает неизменность её линейной скорости:
p = mV = сonst. Þ V = сonst.
Если же не меняется момент импульса тела (Lz), то это не означает постоянства угловой скорости:
Lz = Izw = сonst.
Изменение момента инерции вращающегося тела приведёт к изменению его угловой скорости даже в случае отсутствия внешних вращающих моментов. При этом сохранится неизменным произведение Iz × w = сonst., то есть угловая скорость окажется обратно пропорциональной моменту инерции тела (системы):
.
