пользователей: 30398
предметов: 12406
вопросов: 234839
Конспект-online
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

Закон динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.

При вращении твёрдого тела относительно неподвижной оси, все точки тела движутся по плоским круговым траекториям. Выделим частицу mi тела, вращающегося вокруг оси z (рис. 9.2). Положение частицы зададим радиус-вектором img527 относительно произвольного центра 0, лежащего на оси вращения. Ri — радиус окружности, по которой движется рассматриваемая точка.Vi = wRi — её линейная скорость. 

Рис. 9.2

Рассматривая твёрдое тело как неизменную систему материальных точек, для каждой из них можно записать уравнение моментов:

                         img528.                  (9.1)

В левой части этого уравнения — момент внешних сил относительно оси z, действующий на частицу mi. Справа — производная по времени проекции момента импульса частицы на ту же ось.

Момент импульса частицы относительно центра 0 (по определению) равен:

img529.

Заметим, что для всех частиц img530, поэтому легко вычислить модуль этого вектора Li:

Li = miriVi = miriwRi.

Так как img531 образует угол ai с осью z, то проекция этого вектора на ось z равна:

          img532 = LiCosai = miriwRiCosai = miwRi(riCosai) = miwimg533.         (9.2)

Учитывая этот результат, перепишем уравнение (9.1) ещё раз:

                         img534.             (9.3)

Подобные уравнения могут быть составлены для всех точек твёрдого тела.

Просуммировав все эти уравнения, получим закон вращательного движения твёрдого тела:

img535

или

                         img536.             (9.4)

Здесь:    Mz — суммарный момент всех внешних сил, вращающих твёрдое тело вокруг оси z;

     wz — угловая скорость вращения;

     img537 — новая характеристика твёрдого тела — его момент инерции относительно оси вращения;

     Lz = Izwz — момент импульса тела относительно оси z.

Если момент инерции твёрдого тела Iz не меняется, уравнению (9.4) можно придать такой вид:

                         img538.                  (9.5)

Здесь ε =img539— угловое ускорение вращающегося тела.

Уравнение (9.5) называется основным уравнением динамики для твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

Mz = Iz×ε                (9.6)

Трудно не заметить сходство этого уравнения со вторым законом Ньютона для движения точки:

Fz = maz

Сравнивая эти два выражения, отметим, что в уравнении для вращательного движения в качества «силы» выступает момент силы, вместо линейного ускорения — угловое, вместо массы используется момент инерции Iz.

Сходство этих уравнений можно продолжить, записав их иначе (9.2)

img540

img541

Здесь:    Lz = Iz wx — момент импульса тела относительно оси z,

     Pz = mVz — проекция вектора импульса частицы на ось z.

Во вращательном движении аналогом импульса Р является момент импульса L.

Рассмотренные аналогии позволяют назвать уравнение (9.6) уравнением второго закона динамики (Ньютона) для вращательного движения:

момент внешних сил, вращающих тело вокруг данной оси, равен моменту инерции тела относительно этой оси, умноженному на угловое ускорение тела.

Вернемся ещё раз к уравнению (9.4):

img542.

Оно в равной степени справедливо как для твердого тела, так и для системы тел. Если момент внешних сил относительно оси z равен нулю, то момент импульса системы относительно этой же оси будет оставаться постоянным.

Mz = 0, Þ img543 Þ Lz = Izwz = сonst.

Это  закон сохранения момента импульса — аналог закона сохранения импульса замкнутой системы. Но есть между этими законами одно существенное различие. Постоянство импульса частицы (если её масса не меняется) означает неизменность её линейной скорости:

p = mV = сonst. Þ V = сonst.

Если же не меняется момент импульса тела (Lz), то это не означает постоянства угловой скорости:

Lz = Izw = сonst.

Изменение момента инерции вращающегося тела приведёт к изменению его угловой скорости даже в случае отсутствия внешних вращающих моментов. При этом сохранится неизменным произведение Iz × w = сonst., то есть угловая скорость окажется обратно пропорциональной моменту инерции тела (системы):

img544.

 


25.01.2014; 00:00
хиты: 91
рейтинг:0
Естественные науки
физика
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2020. All Rights Reserved. помощь