пользователей: 30398
предметов: 12406
вопросов: 234839
Конспект-online
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

Кинетическая энергия и работа при вращении тела

 Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси. Если мысленно разбить это тело на n точек массами m1, m2, …, mn, находящихся на расстояниях r1, r2, …, rn от оси вращения, то при вращении они будут описывать окружности и двигаться с различными линейными скоростями v1, v2, …, vn. Так как тело абсолютно твердое, то угловая скорость вращения точек будет одинакова:
 

formula137.jpg

      Кинетическая энергия вращающегося тела есть сумма кинетических энергий его точек, т.е.

 

formula138.jpg


      Учитывая связь между угловой и линейной скоростями, получим:

                           formula4_9.jpg                    (4.9)

      Сопоставление формулы (4.9) с выражением для кинетической энергии тела, движущегося поступательно со скоростью v, показывает, что момент инерции является мерой инертности тела во вращательном движении.
      Если твердое тело движется поступательно со скоростью v и одновременно вращается с угловой скоростью ω вокруг оси, проходящей через его центр инерции, то его кинетическая энергия определяется как сумма двух составляющих:

                                          formula4_10.jpg                                             (4.10)


risunok4_5.jpg
где vc – скорость центра масс тела; Jc - момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс.
      Моментом силы относительно неподвижной оси z называется скалярная величинаMz, равная проекции на эту ось вектора M момента силы, определенного относительно произвольной точки 0 данной оси. Значение момента Mz не зависит от выбора положения точки 0 на оси z.
      Если ось z совпадает с направлением вектора M, то момент силы представляется в виде вектора, совпадающего с осью:
 

Mz = [rF]z


      Найдем выражение для работы при вращении тела. Пусть сила F приложена к точке В, находящейся от оси вращения на расстоянии r (рис. 4.6); α – угол между направлением силы и радиусом-вектором r. Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего тела.
risunok4_6.jpg      При повороте тела на бесконечно малый угол  точка приложения В проходит путь ds = rdφ, и работа равна произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения:
 

dA = Fsinα*rdφ


      Учитывая, что Frsinα = Mz можно записать dA = Mzdφ, где Mz - момент силы относительно оси вращения. Таким образом, работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота.
      Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии:
 

dA = dEk

  formula4_11.jpg         (4.11)

      Уравнение (4.11) представляет собой уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.

 


23.01.2014; 17:10
хиты: 26
рейтинг:0
Естественные науки
физика
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2020. All Rights Reserved. помощь