Положение материальной точки в пространстве в данный момент времени определяется по отношению к какому-либо другому телу, которое называется телом отсчета. С ним связывается система отсчета – совокупность системы координат и часов, связанных с телом, по отношению к которому изучается движение каких-нибудь других материальных точек. Выбор системы отсчета зависит от задач исследования. При кинематических исследованиях все системы отсчета равноправны (декартовая, полярная). В задачах динамики преимущественную роль играют инерциальные системы отсчета, по отношению к которым дифференциальные уравнения движения имеют более простой вид.
В декартовой системе координат положение точки А в данный момент времени по отношению к этой системе определяется тремя координатами х, у и z, или радиусом-вектором r (рис. 1.1).
При движении материальной точки ее координаты с течением времени изменяются. В общем случае ее движение определяется тремя скалярными уравнениями:
(1.1)
или векторным уравнением
r = r(t) (1.2)
Эти уравнения называются кинематическими уравнениями движения материальной точки.
Исключая время t в системе уравнений (1.1), получим уравнение траектории движения материальной точки. Например, если кинематические уравнения движения точки заданы в форме
то, исключая t, получим:
т.е. точка движется в плоскости z = 0 по эллиптической траектории с полуосями, равными a и b.
Траекторией движения материальной точки называется линия, описываемая этой точкой в пространстве. В зависимости от формы траектории движение может быть прямолинейным и криволинейным.
Рассмотрим движение материальной точки вдоль произвольной траектории AB (рис. 1.2). Отсчет времени начнем с момента, когда точка находилась в положении А (t=0). Длина участка траектории АВ, пройденного материальной точкой с момента t=0, называется длиной пути Δs и является скалярной функцией времени: Δs = Δs(t). Вектор Δr = r - r0, проведенный из начального положения движущейся точки в положение ее в данный момент времени, называется вектором перемещения. При прямолинейном движении вектор перемещения совпадает с соответствующим участком траектории и его модуль
Рис. 1.2.
Скорость – это векторная физическая величина, введенная для определения быстроты движения и его направления в данный момент времени.
Пусть материальная точка движется по криволинейной траектории и в момент времени t ей соответствует радиус-вектор r0 (рис. 1.3). В течение малого интервала времени Δt точка пройдет путь Δs и получит бесконечно малое перемещение Δr. Различают среднюю и мгновенную скорости.
Вектором средней скорости vср называется отношение приращения Δrрадиуса-вектора точки к промежутку времени Δt:
vср = Δr / Δt (1.3)
Вектор vср направлен так же, как Δr. При неограниченном уменьшении Δt, средняя скорость стремится к предельному значению, которое называется мгновенной скоростью или просто скоростью:
(1.4)
Таким образом, скорость – это векторная величина, равная первой производной радиуса-вектора движущейся точки по времени. Так как секущая в пределе совпадает с касательной, то вектор скорости v направлен по касательной к траектории в сторону движения.
Если за произвольные равные промежутки времени точка проходит пути разной длины, то численное значение ее скорости с течением времени изменяется. Такое движение называется неравномерным. В этом случае пользуются скалярной величиной, называемой средней скоростью неравномерного движения на данном участке Δs траектории. Она равна численному значению скорости такого равномерного движения, при котором на прохождение пути Δs затрачивается то же время Δt, что и при заданном неравномерном движении:
Для характеристики изменения скорости таких движений вводится понятие ускорения.
Средним ускорением неравномерного движения в интервале времени от tдо t+Δt называется векторная величина, равная отношению изменения скорости Δv к интервалу времени Δt:
(1.9)
Очевидно, что вектор aср совпадает по направлению с вектором изменения скорости Δv.
Мгновенным ускорением или ускорением материальной точки в момент времени t будет предел среднего ускорения:
(1.10)
Таким образом, ускорение есть векторная величина, равная первой производной скорости по времени.
