Анализ устойчивости САУ. Критерии устойчивости

Практическая  пригодность  систем  регулирования  определяется их  устойчивостью и приемлемым качеством регулирования. Под устойчивостью  понимают способность системы возвращаться в исходное состояние при прекращении возмущающего воздействия. Система может  быть  устойчива при воздействиях любой величины (устойчивость в большом) или при некоторых ограниченных воздействиях (устойчивость в малом).

Анализ  системы  на  устойчивость  основан  на  решении  однородного дифференциального уравнения, описывающего свободное движение:

Условием устойчивости является:

Если  корни  характеристического  уравнения  вещественные  и  разные,  то выходная  величина  будет  монотонно  изменяться,  а  характер изменения  каждой  составляющей  будет  определяться знаком соответствующего корня.

Если pi = 0, то i–я составляющая принимает постоянное во времени состояние. При pi > 0 соответствующая ему составляющая  будет  с  течением времени  увеличиваться  до  бесконечности.  Следовательно,  система  будет  устойчива только в  том случае, если все  корни  характеристического  уравнения меньше нуля.

Если корни характеристического уравнения  сопряженные  комплексные (pi = αi ± jωi), то составляющие переходного процесса будут  иметь колебательный характер:

где Аi и φi – постоянные интегрирования.

В  этом  случае  система  будет  устойчива,  если  все  вещественные  части корней  (αi) будут  отрицательными,  а амплитуда  колебаний  будет  стремиться со временем к нулю.

Корни   характеристического   уравнения легко определяются, если его степень не выше второй. Решение уравнений более высоких порядков связано с большими трудностями и выполняется  с  использованием  численных  методов.  Поэтому  были  разработаны  методы,  позволяющие  исследовать  системы  на  устойчивость  с  помощью  специальных  критериев,  не вычисляя при этом корней характеристического  уравнения.  Одним  из  таких  критериев  является  алгебраический  критерий Гурвица, который формулирует  условие устойчивости в виде определителей.

Для  этого  из  коэффициентов  характеристического  уравнения  составляют  определитель.

По главной диагонали выписывают последовательно все коэффициенты характеристического  уравнения,  начиная  с  а1 .  Затем  заполняют  столбцы  коэффициентами: вверх от главной диагонали – по возрастанию индексов до аn , вниз – по убыванию до а 0 . Оставшиеся пустыми места заполняют нулями. Затем из матрицы выделяют диагональные определители, удаляя последовательно равное количество строк и столбцов.

По алгебраическому критерию система n–порядка устойчива, если a1 , а также все диагональные определители больше нуля.

Критерий Гурвица позволяет только установить факт устойчивости, и по полученным  значениям  невозможно  определить,  насколько  близко  к  границе устойчивости находится система.

Критерий Найквиста  (амплитудно-фазовый) был предложен  для  исследования устойчивости усилителей с обратной связью. Он позволяет судить об устойчивости  замкнутой  системы  по  поведению соответствующей  ей  разомкнутой  системы,  что упрощает расчеты.

Замкнутая  система  устойчива,  если  АФХ соответствующей ей разомкнутой системы W(jω ) при изменении частоты от 0 до бесконечности не охватывает точки с координатами -1, i0.

Достоинством  критерия  Найквиста  является  возможность  оценить,  как близко к границе устойчивости находится система.