Характеристики типовых динамических звеньев САУ

Динамические  характеристики.

Динамическая модель описывает изменение входных и выходных величин во времени. Если объект имеет один выход, то динамическая модель  в общем случае имеет вид:

где y(t), x(t) – выходная и входная величины; ai и bi , – постоянные коэффициенты; n – порядок уравнения, при этом n ≥ m – условие физической реализуемости элемента.

Если входных величин несколько – то они и их производные записываются в правой части уравнения.

Если объект имеет k выходов, то его динамика описывается системой  k дифуравнений.

Динамические  характеристики  рассматривают  при  трех  стандартных входных воздействиях:

• единичном ступенчатом – 1(t),
• единичном импульсном – δ(t),
• периодическом (синусоидальном).

В первых двух случаях полученные характеристики называются временными,  в  третьем  – частотными.  По  временным  характеристикам  определяют качество регулирования.

Уравнения динамики решаются классическим или операторным методами. Классический метод применяют для решения линейных уравнений, если их порядок не превышает трех, а правая часть выражается простой функцией – константой или синусоидой. В этом случае общее решение уравнения динамики (неоднородное дифуравнение) представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Однородное уравнение характеризует поведение системы, предоставленной  самой  себе,  после  снятия  внешних  возмущений.  Его  называют уравнением свободного движения системы:

Частное решение неоднородного уравнения описывает поведение системы,  определяемое  свойствами  системы  и  видом  воздействия,  и  называется вынужденным.Тогда:

Решением уравнения свободного движения является:

где pi – корни характеристического уравнения:

Ai – постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.

Операторный метод решения уравнений динамики предусматривает:

- приведение дифуравнений к операторной форме, применяя преобразование Лапласа с учетом заданных начальных условий;

- решение  полученного  алгебраического  уравнения  относительно искомой величины, записанной в операторной форме, используя в случае необходимости свойства преобразования;

- нахождение  решения  исходного  уравнения  динамики  в  обычной форме, применяя операцию обратного преобразования Лапласа.

Прямым  преобразованием  Лапласа  функции  f(t)  действительного  переменного t называется функция  F(p)   комплексного аргумента  p = α + iω определяемая по формуле:

где L – символ операции прямого преобразования Лапласа.

Функцию f(t), называют оригиналом, а функцию F(p),– изображением.

Уравнение динамики системы в операторной форме всегда  проще  исходного  дифференциального  уравнения.  При  этом  оно  учитывает  начальные условия и отражает физическую картину переходного процесса в системе.

Для  отыскания  оригинала  по  соответствующему  изображению  F(p)  необходимо  провести  операцию  обратного  преобразования  Лапласа,  которая обозначается символом L-1:

Вычисление  интеграла  затруднительно  и  поэтому  решения  для  распространенных случаев приводятся в таблице.

Если изображения нет в таблице, то его необходимо привести к удобной для решения форме. Часто изображение  F(p) можно выразить в виде дробно-рациональной функции от р:

если один из корней знаменателя равен 0, то оригинал может быть найден по формуле:

где рi – ненулевые корни знаменателя.

Выраженное в операторной форме уравнение динамики позволяет найти передаточную функцию системы:

где Y(p) и X(p) – изображения по Лапласу выходной и входной величин при нулевых начальных условиях соответственно.

С помощью передаточных функций можно упростить описание динамики как АСР в целом, так и их элементов.