Кинетическая энергия вращающегося тела: Найдем выражение для кинетической энергии тела, вращающегося вокруг неподвижной оси OZ. Кинетическая энергия dWк малого элемента тела, отстоящего на расстоянии р от оси вращения и имеющего массу dm, равна Кинетическая энергия всего тела где J – момент инерции тела относительно оси вращения. Можно показать (По теореме Кёнига кинетическая энергия механической сист. равна сумме кинетической энергии той же сист. в её движении относительно сист. центра масс и кинетической энергии, которую имела бы рассматриваемая сист., двигаясь поступательно со скоростью её центра масс), что при произвольном движении твердого тела его кинетическая энергия Wк равна сумме кинетической энергии поступательного движения тела со скоростью vC его центра масс (Wкпост=m2C/2, m – масса тела) и кинетической энергии вращения тела с угловой скоростью вокруг мгновенной оси, проходящей через центр масс (Wквращ=JC2/2, JC – момент инерции тела относительно мгновенной оси): Следует иметь в виду, что в общем случае положение по отношению к телу мгновенной оси вращения этого тела вокруг центра масс изменяется с течением времени, так что JCconst. Однако в ряде случаев (например, при качении по плоскости однородного цилиндра или шара) JC=const. [Если твердое тело вращается вокруг неподвижной точки О с угловой скоростью, то его кинетическая энергия Wк=L/2 где L=(m)[rv]dm – момент импульса тела относительно точки O, принятой за начало координат. В самом деле, скорость малого элемента тела v=[r]. Поэтому его кинетическая энергия так как смешанное произведение трех векторов не изменяется при циклической перестановке всех сомножителей. Интегрируя это выражение, найдем кинетическую энергию всего тела: |