Момент инерции твердого тела.

{Момент инерции твердого тела.}

Момент инерции — скалярная (в общем случае — тензорная) физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Единица измерения в Международной системе единиц (СИ): кг·м².

Осевой момент инерции

Осевые моменты инерции некоторых тел.

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина Ja, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

$J_a=\sum_{i=1}^n m_i r_i^2\,\!$ ,

где:

mi — масса i-й точки,
ri — расстояние от i-й точки до оси.

Теорема Гюйгенса — Штейнера

Основная статья: Теорема Штейнера

Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит от массы, формы и размеров тела, а также и от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела Jc относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

$~J=J_c+md^2$ ,

где $~m$ — полная масса тела.

Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:

$~J=J_c+md^2=\frac{1}{12}ml^2+m\left(\frac{l}{2}\right)^2=\frac{1}{3}ml^2$

Тело	Положение оси вращения	Момент инерции
Полн. тонкостен. цил. рад. R	Ось симметрии	mR2
Сплошн. цил. или диск рад. R	То же	(1/2)mR2
Прям. тонк. стерж. длин. l	Ось  стерж. и проход. через его серед.	(1/12)m l2
То же	Ось  стерж. и проход. через его конец	(1/3)m l2
Шар рад. R	Ось проход. через центр шара	(2/5)mR2