2.5. Уравнение движения тела переменной массы
Получим уравнение движения тела переменной массы (например, движение ракеты сопровождается уменьшением ее массы за счет истечения газов, образующихся от сгорания топлива).
Пусть в момент времени t масса ракеты m, а ее скорость v; тогда по истечении времени dt ее масса уменьшится на dm и станет равной m–dm, а скорость увеличится до величины v+dv. Изменение импульса системы за время dt будет равно:
где u - скорость истечения газов относительно ракеты. Раскрывая скобки в этом выражении, получим:
Если на систему действуют внешние силы, то
или dp = Fdt. Тогда Fdt = mdv + udm, или
(2.12)
где член
называют реактивной силой Fp. Если вектор u противоположен v, то ракета ускоряется, а если совпадает с v, то тормозится.
Таким образом, уравнение движения тела переменной массы имеет следующий вид:
(2.13)
Уравнение (2.13) называется уравнением И.В. Мещерского.
Применим уравнение (2.12) к движению ракеты, на которую не действуют никакие внешние силы. Тогда, полагая F = 0 и считая, что ракета движется прямолинейно (скорость истечения газов постоянна), получим:
откуда
или
где С – постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий. Если в начальный момент времени v=0, а стартовая масса ракеты составляет m0, то C = u*ln m0. Следовательно,
(2.14)
Полученное соотношение называют формулой К.Э. Циолковского. Из выражения (2.14) следуют следующие практические выводы:
а) чем больше конечная масса ракеты m, тем больше должна быть стартовая масса m0;
б) чем больше скорость истечения газов u, тем больше может быть конечная масса при данной стартовой массе ракеты.
Уравнения Мещерского и Циолковского справедливы для случаев, когда скорости v и u намного меньше скорости света c.
Краткие выводы
Пусть в момент времени t масса ракеты m, а ее скорость v; тогда по истечении времени dt ее масса уменьшится на dm и станет равной m–dm, а скорость увеличится до величины v+dv. Изменение импульса системы за время dt будет равно:
где u - скорость истечения газов относительно ракеты. Раскрывая скобки в этом выражении, получим:
Если на систему действуют внешние силы, то
или dp = Fdt. Тогда Fdt = mdv + udm, или (2.12)где член
называют реактивной силой Fp. Если вектор u противоположен v, то ракета ускоряется, а если совпадает с v, то тормозится.Таким образом, уравнение движения тела переменной массы имеет следующий вид:
(2.13)Уравнение (2.13) называется уравнением И.В. Мещерского.
Применим уравнение (2.12) к движению ракеты, на которую не действуют никакие внешние силы. Тогда, полагая F = 0 и считая, что ракета движется прямолинейно (скорость истечения газов постоянна), получим:
откуда
или
где С – постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий. Если в начальный момент времени v=0, а стартовая масса ракеты составляет m0, то C = u*ln m0. Следовательно,
(2.14)Полученное соотношение называют формулой К.Э. Циолковского. Из выражения (2.14) следуют следующие практические выводы:
а) чем больше конечная масса ракеты m, тем больше должна быть стартовая масса m0;
б) чем больше скорость истечения газов u, тем больше может быть конечная масса при данной стартовой массе ракеты.
Уравнения Мещерского и Циолковского справедливы для случаев, когда скорости v и u намного меньше скорости света c.
Краткие выводы
