Формула Пуазейля
При ламинарном течении жидкости по трубе радиуса R и длины L объем Q жидкости, протекающей через горизонтальную трубу за одну секунду, можно вычислить следующим образом. Выделим тонкий цилиндрический слой радиуса r и толщины dr (рис. 8.9).
Рис. 8.9. Сечение трубы с выделенным слоем жидкости
Площадь его поперечного сечения равна dS = 2πrdr. Так как выделен тонкий слой, жидкость в нем перемещается с одинаковой скоростью v. За одну секунду слой перенесет объем жидкости
Подставив сюда формулу для скорости цилиндрического слоя жидкости (8.4), получим
Это соотношение справедливо для ламинарного течения ньютоновской жидкости.
Формулу Пуазейля можно записать в виде, справедливом для труб переменного сечения. Заменим выражение (Р1 - Р2)/L на градиент давления dP/d/, тогда получим
Как видно из (8.8), при заданных внешних условиях объем жидкости, протекающей по трубе, пропорционален четвертой степени ее радиуса. Это очень сильная зависимость. Так, например, если при атеросклерозе радиус сосудов уменьшится в 2 раза, то для поддержания нормального кровотока перепад давлений нужно увеличить в 16 раз, что практически невозможно. В результате возникает кислородное голодание соответствующих тканей. Этим объясняется возникновение «грудной жабы». Облегчения можно достичь, вводя лекарственное вещество, которое расслабляет мышцы артериальных стенок и позволяет увеличить просвет сосуда и, следовательно, поток крови.
Поток крови, проходящей через сосуды, регулируется специальными мышцами, окружающими сосуд. При их сокращении просвет сосуда уменьшается и соответственно убывает поток крови. Таким образом, незначительным сокращением этих мышц очень точно контролируется поступление крови в ткани.
В организме путем изменения радиуса сосудов (сужения или расширения) за счет изменения объемной скорости кровотока регулируется кровоснабжение тканей, теплообмен с окружающей средой.
Причины движения крови по сосудам
Главная движущая сила кровотока - разность давлений в начале и в конце сосудистой системы: в большом круге кровообращения - разность давлений в аорте и правом предсердии, в малом круге - в легочной артерии и левом предсердии.
Дополнителные факторы, способствующие движению крови по венам в сторону сердца:
1) полулунные клапаны вен конечностей, которые открываются под напором крови только в сторону сердца;
2) присасывающее действие грудной клетки, связанное с отрицательным давлением в ней при вдохе;
3) сокращение мышц конечностей, например, при хотьбе. При этом происходит надавливание на стенки вен, и кровь, благодаря клапанам и присасывающему действию грудной клетки при вдохе, выжимается в участки, расположенные ближе к сердцу.
Гидравлическое сопротивление
Проведем аналогию между формулой Пуазейля и формулой закона Ома для участка цепи тока: I = ΔU/R. Для этого перепишем формулу (8.8) в следующем виде: Q = (P1 - Р2)/[8ηL/(πR4)]. Если сравнить эту формулу с законом Ома для электрического тока, то объем жидкости, протекающей через сечение трубы за одну секунду, соответствует силе тока; разность давлений на концах трубы соответствует разности потенциалов; а величина 8ηL/(πR4) соответствует электрическому сопротивлению. Ее называютгидравлическим сопротивлением:
Гидравлическое сопротивление трубы прямо пропорционально ее длине и обратно пропорционально четвертой степени радиуса.
Если изменением кинетической энергии жидкости на некотором участке можно пренебречь, то рассмотренная аналогия применима и к потоку переменного сечения:
гидравлическим сопротивлением участка называется отношение перепада давлений к объему жидкости, протекающему за 1 секунду:
Наличие гидравлического сопротивления связано с преодолением сил внутреннего трения.
Законы гидродинамики значительно сложнее законов постоянного тока, поэтому и законы соединения труб (кровеносных сосудов) сложнее законов соединения проводников. Так, например, места резкого сужения потока (даже при небольшой длине) обладают большим собственным гидравлическим сопротивлением. Этим и объясняется значительное увеличение гидравлического сопротивления кровеносного сосуда при образовании небольшой бляшки.
Наличие собственного сопротивления у мест резкого сужения потока необходимо учитывать при расчете сопротивления участка, состоящего
Рис. 8.10. Трубы, соединенные последовательно (а) и параллельно (б)
из труб различного диаметра. На рис. 8.10,а показано последовательное сопротивление трех труб. Места сужения обладают собственным сопротивлением Х12и Х23. Поэтому сопротивление участка равно
Электрический аналог (8.13) формулы для расчета гидродинамического сопротивления параллельного соединения (рис 8.10, б) также требует учета сопротивлений мест соединения труб.
8.5. Распределение давления при течении реальной жидкости по трубам различного сечения
При течении по горизонтальной трубе реальной жидкости работа внешних сил расходуется на преодоление внутреннего трения. Поэтому статическое давление вдоль трубы постепенно падает. Этот эффект может быть продемонстрирован на простом опыте. Установим в разных местах горизонтальной трубы, по которой течет вязкая жидкость, манометрические трубки (рис. 8.11).
Рис. 8.11. Падение давления вязкой жидкости в трубах различного сечения
Из рисунка видно, что при постоянном сечении трубы давление падает пропорционально длине. При этом скорость падения давления (dP/dl) увеличивается при уменьшении сечения трубы. Это объясняется ростом гидравлического сопротивления при уменьшении радиуса.
В кровеносной системе человека на капилляры приходится до 70 % падения давления.
