Смешанным произведением трех векторов 
, 
, 
называется число, равное скалярному произведению вектора 
на вектор : 
Геометрический смысл смешанного произведения: если тройка векторов 
правая, то их смешанное произведение равно объему параллелепипеда построенного на этих векторах: 
. В случае левой тройки смешанное произведение указанных векторов равно объему параллелепипеда со знаком минус: 
. Если , и компланарны, то их смешанное произведение равно нулю.
Итак, из выше сказанного можно сделать вывод, что объем параллелепипеда, построенного на векторах , и равен модулю смешанного произведения этих векторов:
Объем пирамиды, построенной на этой тройке векторов равен
Свойства смешанного произведения:
1° 
2° 
3° Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда 
4° Тройка векторов является правой тогда и только тогда, когда 
. Если же 
, то векторы , и образуют левую тройку векторов.
5° 
6° 
7° 
8° 
9° 
10° Тождество Якоби: 
Если векторы 
, 
и 
заданы своими координатами, то их смешанное произведение вычисляется по формуле
