Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.

Повторные независимые испытания

На практике приходится сталкиваться с такими задачами, которые можно представить в виде многократно повторяющихся испытаний, в результате каждого из которых может появиться или не появиться событие $A$ . При этом интерес представляет исход не каждого "отдельного испытания, а общее количество появлений события $A$ в результате определенного количества испытаний. В подобных задачах нужно уметь определять вероятность любого числа $m$ появлений события $A$ в результате $n$ испытаний. Рассмотрим случай, когда испытания являются независимыми и вероятность появления события $A$ в каждом испытании постоянна. Такие испытания называются повторными независимыми.

Примером независимых испытаний может служить проверка на годность изделий, взятых по одному из ряда партий. Если в этих партиях процент брака одинаков, то вероятность того, что отобранное изделие будет бракованным, в каждом случае является постоянным числом.

Формула Бернулли

Воспользуемся понятием сложного события, под которым подразумевается совмещение нескольких элементарных событий, состоящих в появлении или непоявлении события $A$ в $i$ –м испытании. Пусть проводится $n$ независимых испытаний, в каждом из которых событие $A$ может либо появиться с вероятностью $p$ , либо не появиться с вероятностью $q=1-p$ . Рассмотрим событие $B_m$ , состоящее в том, что событие $A$ в этих $n$ испытаниях наступит ровно $m$ раз и, следовательно, не наступит ровно $(n-m)$ раз. Обозначим $A_i~(i=1,2,\ldots,{n})$ появление события $A$ , a $\overline{A}_i$ — непоявление события $A$ в $i$ –м испытании. В силу постоянства условий испытания имеем

$\begin{gathered}P\{A_1\}=P\{A_2\}=\cdots=P\{A_n\}=p,\\P\{\overline{A}_1\}=P\{\overline{A}_2\}=\cdots=P\{\overline{A}_n\}=1-p=q\end{gathered}$

Событие $A$ может появиться $m$ раз в разных последовательностях или комбинациях, чередуясь с противоположным событием $\overline{A}$ . Число возможных комбинаций такого рода равно числу сочетаний из $n$ элементов по $m$ , т. е. $C_n^m$ . Следовательно, событие $B_m$ можно представить в виде суммы сложных несовместных между собой событий, причем число слагаемых равно $C_n^m$ : $B_m=A_1A_2\cdots{A_m}\overline{A}_{m+1}\cdots\overline{A}_n+\cdots+\overline{A}_1\overline{A}_2\cdots\overline{A}_{n-m}A_{n-m+1}\cdots{A_n},$

(3.1)

где в каждое произведение событие $A$ входит $m$ раз, а $\overline{A}$ — $(n-m)$ раз.

Вероятность каждого сложного события, входящего в формулу (3.1), по теореме умножения вероятностей для независимых событий равна $p^{m}q^{n-m}$ . Так как общее количество таких событий равно $C_n^m$ , то, используя теорему сложения вероятностей для несовместных событий, получаем вероятность события $B_m$ (обозначимее $P_{m,n}$ ) $P_{m,n}=C_n^mp^{m}q^{n-m}\quad \text{or}\quad P_{m,n}=\frac{n!}{m!(n-m)!}p^{m}q^{n-m}.$

(3.2)

Формулу (3.2) называют формулой Бернулли, а повторяющиеся испытания, удовлетворяющие условию независимости и постоянства вероятностей появления в каждом из них события $A$ , называют испытаниями Бернулли, или схемой Бернулли.

При решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых одно и тоже испытание повторяется многократно и исход каждого испытания независим от исходов других. Такой эксперимент еще называется схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли.

Примеры повторных испытаний:

1) многократное извлечение из урны одного шара при условии, что вынутый шар после регистрации его цвета кладется обратно в урну;

2) повторение одним стрелком выстрелов по одной и той же мишени при условии, что вероятность удачного попадания при каждом выстреле принимается одинаковой (роль пристрелки не учитывается).

Итак, пусть в результате испытания возможны два исхода: либо появится событие А, либо противоположное ему событие. Проведем n испытаний Бернулли. Это означает, что все n испытаний независимы; вероятность появления события А в каждом отдельно взятом или единичном испытании постоянна и от испытания к испытанию не изменяется (т.е. испытания проводятся в одинаковых условиях). Обозначим вероятность появления события А в единичном испытании буквой р, т.е. p=P(A), а вероятность противоположного события (событие А не наступило) - буквой q=P(A¯¯¯)=1−p.

Тогда вероятность того, что событие А появится в этих n испытаниях ровно k раз, выражаетсяформулой Бернулли

P n (k) = C k n \cdot p k \cdot q n - k, q = 1 - p .

Распределение числа успехов (появлений события) носит название биномиального распределения.

Пример. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Найти вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется 2 белых.

Решение. Событие А – достали белый шар. Тогда вероятности
, .
По формуле Бернулли требуемая вероятность равна
.

Пример. Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей, будет не больше трех девочек. Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми.

Решение. Вероятность рождения девочки
, тогда .

Найдем вероятности того, что в семье нет девочек, родилась одна, две или три девочки:

, ,

, .

Следовательно, искомая вероятность