Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность интересующего события через условные вероятности этого события в предположении неких гипотез, а также вероятностей этих гипотез.
Вероятность события , которое может произойти только вместе с одним из событий , образующих
полную систему событий, равна сумме произведений вероятностей гипотез на условные вероятности события, вычисленные соотвественно при каждой из гипотез.
Доказательство: |
Так как события образуют полную систему событий, то по определению событие можно представить следующим образом: События попарно несовместны, значит, события тоже несовместны. Тогда, воспользовавшись определением условной вероятности, получаем: |
Использование формулы полной вероятности
Рассмотрим два примера
[править]Пример 1
Условие. Имеются одинаковые урны с шарами. В первой из них находится белых и черных шара, во второй — белых и чёрных, а в третьей — чёрных шаров. Из случайно выбранной урны наудачу вынут шар. С какой вероятностью он окажется белым?
Решение. Будем считать события выбором урны с соотвествующим номером, а событие — выбором белого шара. По условию задачи все события выбора урны равновероятны, значит:
Теперь найдём вероятность события при выборе каждой урны:
В результате получаем
[править]Пример 2
Рассмотрим пример из введения.
Решение. Обозначим за событие — выбрана деталь отличного качества, тогда событие — выбранная деталь изготовлена в цехе (где ).
По условию задачи, вероятности производства продукции отличного качества в каждом цехе:
Теперь восползуемся формулой полной вероятности для нахождения искомой вероятности: