Понятие определённого интеграла. Его геометрический смысл.

Определенным интегралом от a до b непрерывной функции y=f(x), определенной на интервале [a;b] , называется приращение первообразной F(x) для этой функции, то есть

$gif.latex?\int_{a}^{b}f\left&space;(&spa$

Числа a и b называются нижним и верхним пределами интегрирования.

Геометрический смысл определенного интеграла:
Площать S криволинейной трапеции (фируры, ограниченной графиком непрерывной положительной на интервале [a;b] функции y=f(x), осью OX и прямыми x = a и x = b вычисляется по формуле

$gif.latex?S=\int_{a}^{b}f\left&space;(&s$

с методички

Геометрический смысл определенного интеграла. Понятие оп-
ределенного интеграла введено таким образом, что в случае, ко-
гда функция y = f{x) неотрицательна на отрезке [а, b], где а < b,

численно равен площади S под кривой у =f(х) на [а, b]

Действительно, при стремлении mах(снизу i)дельтах(снизу i) к нулю ломаная неограниченно приближается к исходной
кривой и площадь под ломаной переходит в площадь под кривой.
Учитывая сказанное, мы можем указать значения некоторых
интегралов, используя известные планиметрические формулы
для площадей плоских фигур. Например,

(Первый из интегралов — площадь квадрата со стороной еди-
ничной длины; второй — площадь прямоугольного треугольни-
ка, оба катета которого единичной длины; третий — площадь
четверти круга единичного радиуса; предлагаем читателю в ка-
честве упражнения выполнить необходимые чертежи самостоя-
тельно.)
Заметим, что равенство (11.3) согласовано с геометрическим
смыслом определенного интеграла: в случае, когда отрезок ин-
тегрирования стянут в точку, фигура под кривой стягивается в
отрезок, площадь которого равна нулю, поскольку это площадь
прямоугольника, одна из сторон которого равна нулю.