пользователей: 21251
предметов: 10459
вопросов: 177801
Конспект-online
зарегистрируйся или войди через vk.com чтобы оставить конспект.
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

I семестр:
» матан

Докажите, что нижний интеграл Дарбу не превосходит верхнего интеграла. Докажите лемму Дарбу

Докажите, что нижний интеграл Дарбу не превосходит верхнего интеграла

Формулировка:

Доказательство: Предположим, что  положим . Согласно определению точных граней числового множества найдутся такие верхняя сумма S` и нижняя сумма s``, которые удовлетворяют неравенствам S` < K и s` > K

Отсюда следует, что S` < s``, что противоречит свойству III (Нижняя сумма произвольного разбиения не превосходит верхней суммы любого другого разбиения). Поэтому наше предположение неверно, и следовательно,

Формулировка:

Доказательство:

 

Докажите лемму Дарбу

Формулировка:  то есть  такое, что для любого разбиения сегмента у которого  выполняются неравенства

 

Доказательство: приведем доказательство для верхних сумм.

 

Если M = m, то f(x) = const = M = m, и для любого разбиения сегмента [a, b] имеем: , и, следовательно, .

Пусть M > m. Зададим произвольное . Так как  = inf S, то существует разбиение T1 сегмента [a, b], такое, что его верхняя сумма S1 удовлетворяет неравенству

Пусть разбиение Т1 содержит точек разбиения. Возьмем

 

И докажем, что верхняя сумма S любого разбиения Т, у которого , удовлетворяет неравенству . Это и будет означать, что

 

Рассмотрим произвольное разбиение T, у которого   Объединим его с разбиением T1. Получим разбиение . Его верхнюю сумму обозначим S2. Согласно первому неравенству в

  а поскольку

 

 

С другой стороны, согласно (при измельчении разбиения нижняя сумма не убывает, а верхняя  не возрастает), а поскольку , то  , или

 

Складывая неравенства, получаем , что и требовалось доказать.

 


15.01.2014; 23:20
хиты: 175
рейтинг:0
Точные науки
математика
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2016. All Rights Reserved. помощь