пользователей: 21212
предметов: 10450
вопросов: 177346
Конспект-online
зарегистрируйся или войди через vk.com чтобы оставить конспект.
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

I семестр:
» матан

Матан f(x)

также интегрируема на этом сегменте, и справедливо неравенство

  1. Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на сегменте [a, b], то:

а) функция f(x)g(x) также интегрируема на сегменте [a, b];

б) если, кроме того, inf [a,b] g(x) > 0 (либо sup[a,b] g(x) < 0), то функция f(x)/g(x)также интегрируема на сегменте [a, b].

Запишите формулу среднего значения для определенного интеграла и сформулируйте достаточные условия ее применимости.

функции f(x) и g(x) интегрируемы на сегменте [a, b],   .

Запишите формулу Ньютона – Лейбница и сформулируйте достаточные условия ее

применимости.

Если f(x) непрерывна на отрезке [a, b]

 

Запишите формулу замены переменной для определенного интеграла и сформулируйте достаточные условия ее применимости.

Пусть: 1) функция f(x) определена и непрерывна на сегменте [a, b]; 2) функция g(t) определена и имеет непрерывную производную на сегменте , причем  при  

Запишите формулу интегрирования по частям для определенного интеграла и сформулируйте достаточные условия ее применимости.

Пусть функции  имеют на сегменте [a, b] непрерывные производные. Тогда справедливо равенство

 

 

Теоремы с доказательством

Докажите теорему об интегрировании методом замены переменной для неопределенного интеграла.

Формулировка: Пусть функция x =φ(t) определена и дифференцируема на промежутке T и множеством ее значений является промежуток X. Пусть на X определена функция f(x), имеющая первообразную F(x). Тогда функция F(φ(t)) является первообразной для функции f(φ(t))φ`(t) на промежутке T.

Доказательство: Используя равенство F` (x) = f(x) и правило дифференцирования сложной функции, получаем:

что и доказывает утверждение теоремы.

 

Докажите теорему об интегрировании по частям для неопределенного интеграла

Формулировка: Пусть функции u(x) и v(x) определены и дифференцируемы на промежутке X и пусть функция  имеет первообразную, то есть на промежутке X существует интеграл

Тогда интеграл

Также существует  на промежутке  X и выполняется

 

Доказательство: воспользуемся равенством

Откуда следует: . Функция  имеет первообразную , функция  имеет первообразную по условию теоремы. Следовательно, функция  также имеет первообразную и при этом

Что и требовалось доказать.

 

Докажите, что для данного разбиения отрезка нижняя (верхняя) сумма является точной нижней(верхней) гранью множества интегральных сумм.

Формулировка: нижняя и верхняя суммы данного разбиения нижней и верхней гранями множества интегральных сумм этого разбиения.

Доказательство: Это следует из того, что точку на частичном сегменте  можно выбрать так, что значение  будет сколь угодно мало отличаться от (и также от ).

 

Пусть разбиение T` отрезка [a; b] получено из разбиения T путем добавления к нему новых точек. Докажите, что нижняя сумма функции f (x) для разбиения Tне меньше, чем нижняя сумма для разбиения T. Получите оценку разности нижних сумм этих разбиений.

Формулировка: при измельчении разбиения нижняя сумма не убывает, а верхняя  не возрастает.

Доказательство: Рассмотрим сначала случай, когда к разбиению  добавлена только одна новая точка разбиения:. Докажем, что будет выполнено неравенство (неравенство s2s1 доказывается аналогично). Введем обозначения

Тогда

Поэтому

то есть . Отсюда следует, что если добавлено несколько новых точек разбиения, то неравенство  также выполняется.

Пусть для разбиения  пусть

И пусть разбиение  получено путем добавления одной новой точки к разбиению . Тогда следует неравенство   . Если разбиение T2 получено путем добавления p новых точек к разбиению T1, то

 

Докажите, что нижняя сумма функции f (x) для любого разбиения отрезка [a;b] не превосходит верхней суммы той же функции f(x) для любого другого разбиения T’ отрезка [a;b].

Формулировка: Нижняя сумма произвольного разбиения не превосходит верхней суммы любого другого разбиения

Доказательство: Пусть суммы Дарбу произвольных разбиений T1 и T2 равны s1, S1 и s2, S2. Требуется доказать, что .

Обозначим буквой T объединение разбиений T1 и T2. Пусть суммы Дарбу разбиения T равны s и S. Тогда, используя свойство II и неравенства , приходим к неравенствам

Из которых следует, что

 

Докажите, что множество нижних сумм функции f (x) для всевозможных разбиений отрезка [a;b] ограничено сверху.

Докажите, что множество верхних сумм функции f (x) для всевозможных разбиений отрезка [a;b] ограничено снизу

Формулировка: понятно

Доказательство: Любая нижняя сумма не превосходит какую-любо верхнюю сумму, и поэтому множество


15.01.2014; 23:20
хиты: 100
рейтинг:0
Точные науки
математика
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2016. All Rights Reserved. помощь